Vektorräume


Ein Vektorraum über einem Körper (K,+,*) ist eine abelsche Gruppe (V,+) mit einer skalaren Multiplikation genannten äußeren Verknüpfung, durch die jedem Skalar a , also jedem Element aus K, und jedem Vektor b, also jedem Element aus V, ein Vektor ax aus V zugeordnet wird, so daß die folgenden Vektorraumaxiome für alle a, b aus K und x, y aus V gelten

(1) (ab)x = a(bx),

(2) (a+b)x = ax + bx,

(3) a(x + y) = ax + ay,

(4) 1x = x für das Einselement 1 des Körpers (K,+,*).

Dabei wird das Verknüpfungssymbol für die skalare Multiplikation ebenso weggelassen wie das Verknüpfungssymbol für die Multiplikation im Körper; weiterhin werden die Addition in (V,+) und die Addition in (K,+,*) mit demselben Symbol bezeichnet, da Verwechselungen kaum auftreten können, und schließlich soll die skalare Multiplikation stärker binden als die Addition von Vektoren.

Das Axiom (1) weist eine formale Ähnlichkeit mit dem Assoziativgesetz für innere Verknüpfungen auf und die Axiome (2) und (3) entsprechen formal den Distributivgesetzen für zwei innere Verknüpfungen. Das Axiom (4) soll im wesentlichen die triviale Möglichkeit der durch ax = o für alle a aus K und x aus V mit dem Nullvektor o aus V definierten skalaren Multiplikation aussschließen.


Beispiele für Vektorräume sind:

  • Oberkörper (V,+,*) eines Körpers (K,+,*).

  • Die arithmetischen Vektorräume Kn für jeden Körper (K,+,*).


  • Zur Geschichte der Vektorrechnung.