Verallgemeinerte Gruppen

Unter einem verallgemeinerten Gruppe $(G,*)$ versteht man eine Halbgruppe $(G,*)$ mit den folgenden Eigenschaften:

(1) Zu jedem $a$ aus $G$ existiert ein eindeutig bestimmtes (lokales) neutrales Element $e(a)$ aus $G$ mit $e(a) * a = a = a * e(a)$ .

(2) Zu jedem $a$ aus $G$ existiert ein (lokales) inverses Element $a'$ aus $G$ mit $a' * a = e(a) = a * a'$ .

Aus (1) und (2) folgt mit der Assoziativität von * sofort

a * a' * a = a,

d. h., jede verallgemeinerte Gruppe ist eine reguläre Halbgruppe.

Weiterhin ergibt sich hieraus sofort

e(a) * e(a) = a * a' * a * a' = a * a' = e(a),

d. h., jedes lokale neutrale Element ist idempotent, und umgekehrt gilt wegen der Eindeutigkeit in (1) bereits $e(a) = a$ für jedes idempotente Element $a$ aus $E(S)$ . Damit ist eine verallgemeinerte Gruppe $(G,*)$ genau dann eine Gruppe, wenn $E(S)$ aus genau einem Element besteht, dem neutralen Element von $(G,*)$ .

Satz: Ist eine verallgemeinerte Gruppe $(G,*)$ eine inverse Halbgruppe, so ist $(G,*)$ bereits eine Gruppe. Insbesondere ist eine kommutative verallgemeinerte Gruppe stets eine abelsche Gruppe.

Beweis: Eine reguläre Halbgruppe ist genau dann eine inverse Halbgruppe, wenn je zwei idempotente Elemente miteinander kommutieren. Seien also $e$ und $f$ aus $E(S)$ . Dann gelten $f * (e*f) = (e*f) * f = (e*f)$ und $(e*f) * e = e * (e*f) = (e*f)$ , d. h. $e$ und $f$ sind lokale neutrale Elemente zu $e*f$ . Wegen der Eindeutigkeit folgt $e = f$ . Also ist $E(S)$ einelementig und daher $(G,*)$ eine Gruppe.

Jedes rektanguläre Band ist eine verallgemeinerte Gruppe.

Weitere Beispiele für verallgemeinerte Gruppen erhält man durch folgende Konstruktion. Es sei $(G,.)$ eine beliebige Gruppe und $f : G -> G$ ein Homomorphismus mit $f(f(a)) = f(a)$ für alle $a$ aus $G$ . Definiert man dann

(3)

a * b = a.f(b)

für alle $a, b$ aus $G$ , so ist $(G,*)$ eine verallgemeinerte Gruppe. Handelt es sich bei $f$ nicht um die identische Abbildung auf $G$ , so ist $(G,*)$ keine Gruppe. Wählt man insbesondere $f(b) = e$ für alle $b$ aus $G$ mit dem neutralen Element $e$ von $(G,.)$ , so ist $(G,*)$ die Linkszerohalbgruppe auf $G$ .

Für alle $a, b, c$ aus $G$ folgt aus (3) $a * (b * c) = a * (b.f(c)) = a.f(b.f(c)) = a.f(b).f(f(c)) = a.f(b).f(c)
= (a * b).f(c) = (a * b) * c$ . Also ist $(G,*)$ eine Halbgruppe. Weiterhin erfüllt $e(a) = a * a$ ^-1 auch $e(a) * a = a.f(a$ ^-1).f(a) = a.f(e) = a und $a * e(a) = a.f(a.f(a$ ^-1)) = a.f(a).f(a^-1) = a. Aus (3) folgt die Rechtskürzbarkeit von *, wodurch $e(a)$ auch eindeutig bestimmt ist. Setzt man schließlich $a' = a.f(a$ ^-2), so folgt $a' * a =
a.f(a$ ^-2).f(a) = a.f(a^-1) = e(a) und $a * a' = a.f(a.f(a$ ^-2)) = a.f(a).f(a^-2) = a.f(a^-1) = e(a). Also ist $(G,*)$ eine verallgemeinerte Gruppe. Ersichtlich gilt $e(e) = e$ für das neutrale Element der Gruppe $(G,.)$ . Für jedes $a$ aus $G$ mit $f(a$ ^-1) /= a^-1 ist aber $e(a) = a.f(a$ ^-1) ein von $e$ verschiedenes idempotentes Element von $(G,*)$ , und diese daher keine Gruppe.