Verallgemeinerte Gruppen


Unter einem verallgemeinerten Gruppe (G,*) versteht man eine Halbgruppe (G,*) mit den folgenden Eigenschaften:

(1) Zu jedem a aus G existiert ein eindeutig bestimmtes (lokales) neutrales Element e(a) aus G mit e(a) * a = a = a * e(a).

(2) Zu jedem a aus G existiert ein (lokales) inverses Element a' aus G mit a' * a = e(a) = a * a'.


Aus (1) und (2) folgt mit der Assoziativität von * sofort

a * a' * a = a,

d. h., jede verallgemeinerte Gruppe ist eine reguläre Halbgruppe.

Weiterhin ergibt sich hieraus sofort

e(a) * e(a) = a * a' * a * a' = a * a' = e(a),

d. h., jedes lokale neutrale Element ist idempotent, und umgekehrt gilt wegen der Eindeutigkeit in (1) bereits e(a) = a für jedes idempotente Element a aus E(S). Damit ist eine verallgemeinerte Gruppe (G,*) genau dann eine Gruppe, wenn E(S) aus genau einem Element besteht, dem neutralen Element von (G,*).


Satz: Ist eine verallgemeinerte Gruppe (G,*) eine inverse Halbgruppe, so ist (G,*) bereits eine Gruppe. Insbesondere ist eine kommutative verallgemeinerte Gruppe stets eine abelsche Gruppe.

Beweis: Eine reguläre Halbgruppe ist genau dann eine inverse Halbgruppe, wenn je zwei idempotente Elemente miteinander kommutieren. Seien also e und f aus E(S). Dann gelten f * (e*f) = (e*f) * f = (e*f) und (e*f) * e = e * (e*f) = (e*f), d. h. e und f sind lokale neutrale Elemente zu e*f. Wegen der Eindeutigkeit folgt e = f. Also ist E(S) einelementig und daher (G,*) eine Gruppe.


Jedes rektanguläre Band ist eine verallgemeinerte Gruppe.

Weitere Beispiele für verallgemeinerte Gruppen erhält man durch folgende Konstruktion. Es sei (G,.) eine beliebige Gruppe und f : G -> G ein Homomorphismus mit f(f(a)) = f(a) für alle a aus G. Definiert man dann

(3)

a * b = a.f(b)

für alle a, b aus G, so ist (G,*) eine verallgemeinerte Gruppe. Handelt es sich bei f nicht um die identische Abbildung auf G, so ist (G,*) keine Gruppe. Wählt man insbesondere f(b) = e für alle b aus G mit dem neutralen Element e von (G,.), so ist (G,*) die Linkszerohalbgruppe auf G.

Für alle a, b, c aus G folgt aus (3) a * (b * c) = a * (b.f(c)) = a.f(b.f(c)) = a.f(b).f(f(c)) = a.f(b).f(c) = (a * b).f(c) = (a * b) * c. Also ist (G,*) eine Halbgruppe. Weiterhin erfüllt e(a) = a * a-1 auch e(a) * a = a.f(a-1).f(a) = a.f(e) = a und a * e(a) = a.f(a.f(a-1)) = a.f(a).f(a-1) = a. Aus (3) folgt die Rechtskürzbarkeit von *, wodurch e(a) auch eindeutig bestimmt ist. Setzt man schließlich a' = a.f(a-2), so folgt a' * a = a.f(a-2).f(a) = a.f(a-1) = e(a) und a * a' = a.f(a.f(a-2)) = a.f(a).f(a-2) = a.f(a-1) = e(a). Also ist (G,*) eine verallgemeinerte Gruppe. Ersichtlich gilt e(e) = e für das neutrale Element der Gruppe (G,.). Für jedes a aus G mit f(a-1) /= a-1 ist aber e(a) = a.f(a-1) ein von e verschiedenes idempotentes Element von (G,*), und diese daher keine Gruppe.