Unabhängigkeit der Verbandsaxiome


Man kann einen Verband (H,,) durch die folgenden sechs Axiome charakterisieren, die für alle a, b, c aus H gelten müssen.

(a b) c = a (b c)   (a b) c = a (b c)
a b = b a a b = b a
a (a b) = a a (a b) = a

Die ersten beiden beschreiben die Assoziativität beider Verknüpfungen, die nächsten beiden die Kommutativität. Die letzten beiden Axiome werden auch Absorptionsgesetze genannt.

Hier soll durch entsprechende Beispiele gezeigt werden, daß diese Axiome unabhängig voneinander sind, daß man also Algebren (H,,) angeben kann, die jeweils fünf dieser Axiome erfüllen, aber das sechste nicht.


0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
0 0 0 3 0
0 1 3 3 1
0 3 2 3 2
3 3 3 3 3
0 1 2 3 4
  
0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
0 1 2 0 4
1 1 4 1 4
2 4 2 2 4
0 1 2 3 4
4 4 4 4 4

Beide Verknüpfungen sind kommutativ (und idempotent) und beide Absorptionsgesetze sind erfüllt. Während aber assoziativ ist (und damit (H,) ein Halbverband), gilt dies für wegen (0 1) 2 = 0 2 = 0 und 0 (1 2) = 0 3 = 3 nicht. Also ist die Assoziativität von unabhängig von den restlichen fünf Axiomen. Vertauscht man die Verknüpfungstafeln von und miteinander, so erhält man ein duales Beispiel, das zeigt, daß auch die Assoziativität von unabhängig von den restlichen fünf Axiomen ist.


0 1
0
1
0 0
0 1
  
0 1
0
1
0 0
1 1

Es handelt sich um zwei idempotente Halbgruppen und beide Absorptionsgesetze sind erfüllt. Während aber kommutativ ist (und damit (H,) ein Halbverband), gilt dies für nicht.

Vertauscht man die beiden Verknüpfungen miteinander, so erhält man ein Beispiel, in dem alle Axiome bis auf a b = b a erfüllt sind. Also ist jedes der beiden Kommutativgesetze jeweils unabhängig von den anderen fünf Axiomen.


0 1 2
0
1
2
0 2 2
2 1 2
2 2 2
  
0 1 2
0
1
2
0 1 0
1 1 1
0 1 2

Hierdurch sind zwei kommutative und idempotente Halbgruppen definiert, es handelt sich also um einen Bihalbverband. Außerdem gilt das Absorptionsgesetz a (a b) = a, wegen 0 (0 1) = 0 1 = 2 aber nicht das hierzu duale Absorptionsgesetz.

Vertauscht man die beiden Verknüpfungen miteinander, so erhält man, daß auch das Absorptionsgesetz a (a b) = a unabhängig von den anderen fünf Axiomen ist.