Vollständig reguläre Halbgruppen und Halbringe


Ein Element a einer Halbgruppe (S,+) heißt vollständig regulär, wenn ein x aus S mit

(1)

a+x+a = a
und

(2)

a+x = x+a

existiert. Wegen (1) ist also a dann insbesondere regulär. Jedes Element a mit a+a+a = a ist vollständig regulär, denn x = a erfüllt (1) und (2). Daher ist jedes idempotente Element von (S,+) vollständig regulär. Ist (S,+,0) ein Monoid, so ist jedes invertierbare Element a aus S vollständig regulär, denn x = -a erfüllt dann ebenfalls (1) und (2).

Erfüllen a und x die Gleichungen (1) und (2), so folgen (x + a + x) + a + (x + a + x) = x + a + (x + a + x) = x + a + x, a + (x + a + x) + a = a + x + a = a und a + x + a + x = a + x = x + a = x + a + x + a, d. h., x + a + x ist sogar ein Inverses zu dem regulären Element a, das ebenfalls (1) und (2) erfüllt.


Ist (S,+,*) ein Halbring und a ein vollständig reguläres Element in (S,+), so folgt a*(a+x) = (a+x)*a aus (1) und (2) wegen a*(a+x) + (x+a)*a = a*(x+a) + (x+a)*a = a*x + a*a + x*a + a*a = a*x + a*a = a*(x+a) = a*(a+x) und a*(a+x) + (x+a)*a = a*(a+x) + (a+x)*a = a*a + a*x + a*a + x*a = a*a + x*a = (a+x)*a.

Man nennt nun a vollständig regulär in (S,+,*), wenn ein x aus S existiert, so daß neben (1) und (2) noch

(3)

a*(a+x) = a + x

oder gleichwertig

(3')

(a+x)*a = a + x

erfüllt ist.


Eine Halbgruppe (S,+) bzw. ein Halbring (S,+,*) heißt vollständig regulär, wenn jedes Element a aus S vollständig regulär in der Halbgruppe bzw. in dem Halbring ist.

Nach den oben gemachten Bemerkungen ist jedes Band (S,+) vollständig regulär und ebenso jede Gruppe (S,+). Es ist aber nicht so, daß ein Halbring (S,+,*) schon dann vollständig regulär ist, wenn die Halbgruppe (S,+) diese Eigenschaft hat. Ist nämlich (S,*) eine beliebige Halbgruppe und definiert man (S,+) als Linkszero- oder Rechtszerohalbgruppe, so ist (S,+) als Band vollständig regulär und zu jedem a aus S ist x = a das einzige Element aus S, das (1) und (2) erfüllt. Aber nur im Falle a = a*a gilt dann auch (3).


Sind aber in dem Halbring (S,+,*) sowohl (S,+) als auch (S,*) Bänder, so ist für x = a auch (3) erfüllt und (S,+,*) daher ein vollständig regulärer Halbring. Jeder idempotente Halbring ist also vollständig regulär.

Ist andererseits (S,+) in dem Halbring (S,+,*) eine (nicht notwendig kommutative) Gruppe mit dem neutralen Element 0, so ist dieses Nullelement absorbierend und x = -a erfüllt daher ebenfalls (3). Also sind alle Ringe und auch Ringe mit nichtkommutativer Addition oder Schiefringe vollständig reguläre Halbringe.


Satz: Für ein Element a einer Halbgruppe (S,+) sind gleichwertig:
i) a ist vollständig regulär.
ii) a ist regulär und besitzt ein Inverses, das mit ihm kommutiert.
iii) a ist in a + a + S + a + a enthalten.
iv) a liegt im Durchschnitt von a + a + S und S + a + a.
v) a liegt in einer Untergruppe (G,+,o) von (S,+).

Beweis: i) => ii): Dies wurde bereits oben gezeigt.
ii) => iii): Mit x + a + x = x folgt aus (1) und (2) sofort a = a + x + a = a + x + a + x + a = a + x + a + x + a + x + a = a + a + x + x + x + a + a.
iii) => iv): Dies folgt, da a + a + S + a + a sowohl in a + a + S als auch in S + a + a enthalten ist.
iv) => v): Gelte a = x + a + a = a + a + y für x,y aus S. Dann folgt x + a = x + a + a + y = a + y, d. h. das Element o = x + a = a + y ist in S + a und in a + S enthalten. Wegen a + o = a + a + y = a = x + a + a = o + a ist a also im Durchschnitt von S + o und o + S enthalten. Weiterhin gilt o + o = x + a + a + y = x + a = o, also ist o idempotent. Daher ist a in der Untergruppe (Go,+) von (S,+) enthalten.
v) => i): Ist x = a' das Inverse von a in der Untergruppe, so gilt a + x = a + a' = o = a' + a = x + a und a + x + a = a + a' + a = a + o = a.


Ist a vollständig regulär in der Halbgruppe (S,+), so werde mit -a das eindeutig bestimmte Inverse von a in der maximalen Untergruppe von (S,+), die a enthält, bezeichnet. Es gelten dann also a + (-a) = (-a) + a und a + (-a) + a = a sowie -(-a) = a.

In multiplikativer Schreibweise erhält man damit:

Die vollständig regulären Halbgruppen sind also genau die I-Halbgruppen (S,.,-1), in denen a.a-1 = a-1.a für alle a aus S erfüllt ist.

Mit dem Satz über maximale Untergruppen folgt sofort die folgende Charakterisierung der vollständig regulären Halbgruppen.

Satz: Eine Halbgruppe ist genau dann vollständig regulär, wenn sie (disjunkte) Vereinigung von Gruppen ist.