Vollständig reguläre Halbgruppen und Halbringe

Ein Element $a$ einer Halbgruppe $(S,+)$ heißt vollständig regulär, wenn ein $x$ aus $S$ mit

(1)

(2)

existiert. Wegen (1) ist also $a$ dann insbesondere regulär. Jedes Element $a$ mit $a+a+a\; =\; a$ ist vollständig regulär, denn $x\; =\; a$ erfüllt (1) und (2). Daher ist jedes idempotente Element von $(S,+)$ vollständig regulär. Ist $(S,+,0)$ ein Monoid, so ist jedes invertierbare Element $a$ aus $S$ vollständig regulär, denn $x\; =\; -a$ erfüllt dann ebenfalls (1) und (2).

Erfüllen $a$ und $x$ die Gleichungen (1) und (2), so folgen $(x\; +\; a\; +\; x)\; +\; a\; +\; (x\; +\; a\; +\; x)\; =\; x\; +\; a\; +\; (x\; +\; a\; +\; x)\; =\; x\; +\; a\; +\; x,\; a\; +\; (x\; +\; a\; +\; x)\; +\; a\; =\; a\; +\; x\; +\; a\; =\; a$ und $a\; +\; x\; +\; a\; +\; x\; =\; a\; +\; x\; =\; x\; +\; a\; =\; x\; +\; a\; +\; x\; +\; a$, d. h., $x\; +\; a\; +\; x$ ist sogar ein Inverses zu dem regulären Element $a$, das ebenfalls (1) und (2) erfüllt.

Ist $(S,+,*)$ ein Halbring und $a$ ein vollständig reguläres Element in $(S,+)$, so folgt $a*(a+x)\; =\; (a+x)*a$ aus (1) und (2) wegen $a*(a+x)\; +\; (x+a)*a\; =\; a*(x+a)\; +\; (x+a)*a\; =\; a*x\; +\; a*a\; +\; x*a\; +\; a*a\; =\; a*x\; +\; a*a\; =\; a*(x+a)\; =\; a*(a+x)$ und $a*(a+x)\; +\; (x+a)*a\; =\; a*(a+x)\; +\; (a+x)*a\; =\; a*a\; +\; a*x\; +\; a*a\; +\; x*a\; =\; a*a\; +\; x*a\; =\; (a+x)*a$.

Man nennt nun $a$ vollständig regulär in $(S,+,*)$, wenn ein $x$ aus $S$ existiert, so daß neben (1) und (2) noch

(3)

(3')

Eine Halbgruppe $(S,+)$ bzw. ein Halbring $(S,+,*)$ heißt vollständig regulär, wenn jedes Element $a$ aus $S$ vollständig regulär in der Halbgruppe bzw. in dem Halbring ist.

Nach den oben gemachten Bemerkungen ist jedes Band $(S,+)$ vollständig regulär und ebenso jede Gruppe $(S,+)$. Es ist aber nicht so, daß ein Halbring $(S,+,*)$ schon dann vollständig regulär ist, wenn die Halbgruppe $(S,+)$ diese Eigenschaft hat. Ist nämlich $(S,*)$ eine beliebige Halbgruppe und definiert man $(S,+)$ als Linkszero- oder Rechtszerohalbgruppe, so ist $(S,+)$ als Band vollständig regulär und zu jedem $a$ aus $S$ ist $x\; =\; a$ das einzige Element aus $S$, das (1) und (2) erfüllt. Aber nur im Falle $a\; =\; a*a$ gilt dann auch (3).

Ist andererseits $(S,+)$ in dem Halbring $(S,+,*)$ eine (nicht notwendig kommutative) Gruppe mit dem neutralen Element 0, so ist dieses Nullelement absorbierend und $x\; =\; -a$ erfüllt daher ebenfalls (3). Also sind alle Ringe und auch Ringe mit nichtkommutativer Addition oder Schiefringe vollständig reguläre Halbringe.

Satz: Für ein Element $a$ einer Halbgruppe $(S,+)$ sind gleichwertig:
i) $a$ ist vollständig regulär.
ii) $a$ ist regulär und besitzt ein Inverses, das mit ihm kommutiert.
iii) $a$ ist in $a\; +\; a\; +\; S\; +\; a\; +\; a$ enthalten.
iv) $a$ liegt im Durchschnitt von $a\; +\; a\; +\; S$ und $S\; +\; a\; +\; a$.
v) $a$ liegt in einer Untergruppe $(G,+,o)$ von $(S,+)$.

Beweis: i) => ii): Dies wurde bereits oben gezeigt.
ii) => iii): Mit $x\; +\; a\; +\; x\; =\; x$ folgt aus (1) und (2) sofort $a\; =\; a\; +\; x\; +\; a\; =\; a\; +\; x\; +\; a\; +\; x\; +\; a\; =\; a\; +\; x\; +\; a\; +\; x\; +\; a\; +\; x\; +\; a\; =\; a\; +\; a\; +\; x\; +\; x\; +\; x\; +\; a\; +\; a.$
iii) => iv): Dies folgt, da $a\; +\; a\; +\; S\; +\; a\; +\; a$ sowohl in $a\; +\; a\; +\; S$ als auch in $S\; +\; a\; +\; a$ enthalten ist.
iv) => v): Gelte $a\; =\; x\; +\; a\; +\; a\; =\; a\; +\; a\; +\; y$ für $x,y$ aus $S$. Dann folgt $x\; +\; a\; =\; x\; +\; a\; +\; a\; +\; y\; =\; a\; +\; y$, d. h. das Element $o\; =\; x\; +\; a\; =\; a\; +\; y$ ist in $S\; +\; a$ und in $a\; +\; S$ enthalten. Wegen $a\; +\; o\; =\; a\; +\; a\; +\; y\; =\; a\; =\; x\; +\; a\; +\; a\; =\; o\; +\; a$ ist $a$ also im Durchschnitt von $S\; +\; o$ und $o\; +\; S$ enthalten. Weiterhin gilt $o\; +\; o\; =\; x\; +\; a\; +\; a\; +\; y\; =\; x\; +\; a\; =\; o$, also ist $o$ idempotent. Daher ist $a$ in der Untergruppe $(G$_o,+) von $(S,+)$ enthalten.
v) => i): Ist $x\; =\; a\text{'}$ das Inverse von $a$ in der Untergruppe, so gilt $a\; +\; x\; =\; a\; +\; a\text{'}\; =\; o\; =\; a\text{'}\; +\; a\; =\; x\; +\; a$ und $a\; +\; x\; +\; a\; =\; a\; +\; a\text{'}\; +\; a\; =\; a\; +\; o\; =\; a.$

Ist $a$ vollständig regulär in der Halbgruppe $(S,+)$, so werde mit $-a$ das eindeutig bestimmte Inverse von $a$ in der maximalen Untergruppe von $(S,+)$, die $a$ enthält, bezeichnet. Es gelten dann also $a\; +\; (-a)\; =\; (-a)\; +\; a$ und $a\; +\; (-a)\; +\; a\; =\; a$ sowie $-(-a)\; =\; a$.

In multiplikativer Schreibweise erhält man damit:

Die vollständig regulären Halbgruppen sind also genau die I-Halbgruppen $(S,.,-1)$, in denen $a.a-1=\; a-1.a$ für alle $a$ aus $S$ erfüllt ist.

Mit dem Satz über maximale Untergruppen folgt sofort die folgende Charakterisierung der vollständig regulären Halbgruppen.

Satz: Eine Halbgruppe ist genau dann vollständig regulär, wenn sie (disjunkte) Vereinigung von Gruppen ist.