Zentrum

Elemente $a$ und $b$ eines Gruppoids $(G,*)$ kommutieren oder sind vertauschbar, wenn sie

(1)

erfüllen. Ein Element $a$ heißt zentral, wenn es mit jedem $b$ aus $G$ vertauschbar ist, und das Zentrum $Z(G)$ von $(G,*)$ besteht aus allen zentralen Elementen.

Ein neutrales Element eines Gruppoids liegt also stets im Zentrum und daher ist dieses für Loops, Monoide und Gruppen nicht leer. Bestimmte Quasigruppen mit nur drei Elementen und Links- oder Rechtszerohalbgruppen zeigen dagegen, daß für solche Strukturen das Zentrum auch leer sein kann.

Ein Gruppoid $(G,*)$ heißt bekanntlich kommutativ, wenn (1) für alle $a$ und $b$ aus $G$ erfüllt ist, wenn also $Z(G)\; =\; G$ gilt.

Aus dem Assoziativgesetz folgt, daß mit $a$ und $b$ auch stets $a*b$ in $Z(G)$ liegt, denn für jedes $x$ aus $G$ folgt $(a*b)*x\; =\; a*(b*x)\; =\; a*(x*b)\; =\; (a*x)*b\; =\; (x*a)*b\; =\; x*(a*b)$ aus der Vertauschbarkeit von $a$ und $b$ mit allen Elementen von $G$. Ist für eine Halbgruppe das Zentrum also nicht leer, so bildet es eine Unterhalbgruppe.

In einer Gruppe $(G,*)$ liegt mit jedem Element $a$ auch das Inverse $a-1$ im Zentrum $Z(G)$, denn aus (1) für alle $b$ aus $G$ folgt durch Multiplikation mit $a-1$ von links und rechts sofort $b*a-1=\; a-1*b$, also (1) für alle $b$ aus $G$. Damit ist das Zentrum einer Gruppe stets Untergruppe.

Unter dem Zentrum $Z(H)$ eines Halbringes[ Ringes, Körpers] $(H,+,*)$ versteht man das Zentrum der multiplikativen Halbgruppe $(H,*)$.

Aufgabe: Man zeige, daß das Zentrum $Z(H)$ eines Halbringes [ Ringes, Körpers] $(H,+,*)$ ein Unterhalbring [Unterring, Unterkörper] von $(H,+,*)$ ist, wobei im Falle des Halbringes $Z(H)$ als nicht leer vorausgesetzt werden muß.