Absorbierende Elemente, Zerohalbgruppen und Zeroringe


Ein Element o eines Gruppoids (G,*) heißt linksabsorbierendes Element oder Linksnullelement von (G,*), wenn für alle a aus G gilt

(1l)

o*a = o.

Entsprechend ist ein rechtsabsorbierendes Element oder Rechtsnullelement durch

(1r)

a*o = o

für alle a aus G definiert. Gelten gleichzeitig (ll) und (1r), so nennt man o ein absorbierendes Element oder Nullelement (engl. zero) von (G,*).

Besitzt ein Gruppoid ein Linksnullelement und ein Rechtsnullelement, so müssen beide offensichtlich übereinstimmen. Insbesondere ist also ein Nullelement (im Falle seiner Existenz) eindeutig bestimmt.


Auf einer beliebigen nichtleeren Menge H kann man für jedes fest gewählte Element o aus H eine Multiplikation * definieren gemäß

(2)

a*b = o

für alle a, b aus H. Dann ist offensichtlich (H,*) eine kommutative Halbgruppe mit o als Nullelement, die Zerohalbgruppe auf H.

Besitzt die Menge H hierbei mindestens zwei verschiedene Elemente o und o', so kann man natürlich auf diese Weise zwei formal verschiedene Verknüpfungen definieren, man wird aber die beiden so entstehenden Zerohalbgruppen auf derselben Menge H nicht als wesentlich verschieden ansehen. Diesen Aspekt der wesentlichen Gleichheit von zwei Strukturen präzisiert man in der Algebra durch den Begriff des Isomorphismus. Die eben beschriebenen Zerohalbgruppen sind dann isomorph zueinander.


Andererseits kann man auf H auch eine Multiplikation * definieren durch

(3l)

a*b = a

für alle a, b aus H oder durch

(3r)

a*b = b.

Im Falle (3l) erhält man die Linkszerohalbgruppe (H,*) auf H, im Falle (3r) die Rechtszerohalbgruppe. Beide sind idempotent, aber für |H| > 1 nicht kommutativ. Natürlich fallen alle drei Multiplikationen genau für |H|=1 zusammen und liefern dann die einelementige Gruppe.

Auch zwischen einer so definierten Linkszerohalbgruppe und der entsprechenden Rechtszerohalbgruppe auf derselben Menge H besteht eine sehr enge Beziehung. Diese wird durch die Links-Rechts-Dualität näher beschrieben.

Weiterhin folgt aus (3r) und a*x = a*y sofort x = y für alle a, x, y aus G, d. h. jede Rechtszerohalbgruppe ist linkskürzbar und entsprechend jede Linkszerohalbgruppe rechtskürzbar.


Halbringe mit Zeromultiplikation und Zeroringe

Ist (H,+) eine beliebige Halbgruppe und o ein idempotentes Element von (H,+), gilt also o+o=o, so liefert (2) eine Multiplikation * auf H, für die (H,+,*) ein Halbring ist, denn die Distributivgesetze sind leicht nachzuprüfen. Geht man hierbei speziell von einer beliebigen abelschen Gruppe (R,+) und dem neutralen Element o von (R,+) aus, so erhält man einen Ring (R,+,*), den Zeroring auf (R,+).


Geht man von einer idempotenten Halbgruppe (H,+) aus, so definieren sowohl (3l) als auch (3r) Multiplikationen * auf H, für die jeweils (H,+,*) ein Halbring ist, denn die Distributivgesetze sind wiederum leicht nachzurechnen. Diese Halbringe sind sowohl additiv als auch multiplikativ idempotent, aber für |H| > 1 nicht multiplikativ kommutativ und damit insbesondere keine distributiven Verbände, selbst wenn (H,+) ein Halbverband sein sollte.