Die Restklassengruppen Z/(n)


Für jede natürliche Zahl n bilden die ganzzahligen Vielfachen

n*Z = { g*n | g aus Z } = { ...,-2*n, -n, 0, n, 2*n,... }

eine Untergruppe der abelschen Gruppe (Z,+), denn ersichtlich liegt die Differenz zweier Elemente aus n*Z wieder in (der nichtleeren Menge) n*Z. Für n = 0 bzw. n = 1 sind dies gerade die trivialen Untergruppen { 0 } bzw. Z selbst.

Wegen der Kommutativität von (Z,+) ist jede dieser Untergruppen schon ein Normalteiler. Damit erhält man die jeweilige Faktorgruppe (Z/n*Z,+) = (Z/(n),+), die aus den Klassen der durch n*Z bestimmten Kongruenzrelation ~ besteht. Sie wird die Restklassengruppe Z modulo n genannt. Dabei sind zwei Elemente a und b aus Z genau dann kongruent modulo n, wenn ihre Differenz durch n ohne Rest teilbar ist, d. h., wenn sie beide bei Division durch n denselben ganzzahligen Rest liefern.

Für n > 0 wählt man als Repräsentanten der Klassen üblicherweise die Zahlen 0, 1, ..., n-1 und erhält so

Z/(n) = { [0]n, [1]n, ..., [n-1]n }.

Ersichtlich hat dann (Z/(n),+) die Ordnung n und damit sind für verschiedene natürliche Zahlen n und m die Restklassengruppen (Z/(n),+) und (Z/(m),+) nicht isomorph. Außerdem ist jede dieser Gruppen zyklisch, denn sie wird von der Restklasse [1]n erzeugt. Es gibt also zu jeder natürlichen Zahl n > 0 eine (zyklische und damit abelsche) Gruppe der Ordnung n.


Ist (U,+) irgendeine von { 0 } verschiedene Untergruppe von (Z,+), so gibt es wenigstens ein von 0 verschiedenes Element u in U. Damit liegt aber auch -u in U und daher wenigstens eine positive natürliche Zahl. Es sei nun n die kleinste positive natürliche Zahl aus U. Dann ist offensichtlich n*Z schon in U enthalten. Ist nun u irgendein Element von U, so liefert die Division mit Rest eine Zerlegung u = g*n + r mit einer ganzen Zahl g und einem Rest 0 <= r < n. Nun liegt aber r = u - g*n in U und wegen der Minimalität von n ist dies nur für r = 0 möglich, d. h. u = g*n liegt schon in n*Z und es gilt folglich U = n*Z. Daher sind die Untergruppen n*Z bereits sämtliche Untergruppen (und Normalteiler) von (Z,+). Also ist nach dem Homomorphiesatz jedes homomorphe Bild von (Z,+) zu genau einer der zyklischen Restklassengruppen (Z/(n),+) isomorph.


Auf der Menge Z/(n) ist aber in natürlicher Weise auch eine Multiplikation erklärt, die sich aus der Multiplikation ganzer Zahlen ergibt. Man definiert

[a]*[b] = [c]

für zwei Restklassen [a] und [b] aus Z/(n) dadurch, daß man c als eindeutig bestimmten Rest mit 0 <= c < n definiert, den das Produkt a*b bei Division durch n läßt. Man hat sich nur davon zu überzeugen, daß bei der Multiplikation a' * b' mit anderen Elementen a' aus der Klasse [a] und b' aus der Klasse [b] bei Division durch n derselbe Rest c entsteht. Anschließend kann man nachrechnen, daß auf diese Weise ein kommutativer Ring mit Einselement (Z/(n),+,*) entsteht. (Der Nachweis erübrigt sich, wenn man die Begriffsbildung des Faktorringes aus der Ringtheorie zur Verfügung hat!) Dieser Ring heißt Restklassenring der ganzen Zahlen modulo n. Die Gruppe der Einheiten dieses Ringes bezeichnet man als
prime Restklassengruppe G(n).