Zyklische Halbgruppen und Gruppen

Ist $(U$_i,*) für jedes $i$ aus einer Indexmenge $I$ eine Unterhalbgruppe einer Halbgruppe $(H,*)$ und $D$ der Durchschnitt der Mengen $U$_i, dann ist, falls $D$ nicht leer ist, $(D,*)$ eine Unterhalbgruppe von $(H,*)$, denn sind $a$ und $b$ Elemente von $D$, so liegen sie in jeder der bezüglich $*$ abgeschlossenen Mengen $U$_i. Daher ist auch ihr Produkt $a*b$ in jedem $U$_i enthalten und somit in $D$. Also ist $D$ abgeschlossen bezüglich $*$. Damit ist natürlich auch der Durchschnitt von Untergruppoiden eines Gruppoids entweder leer oder ein Untergruppoid.

Aufgabe: Man zeige, daß der Durchschnitt beliebig vieler Untergruppen einer Gruppe $(G,*)$ wieder eine Untergruppe von $(G,*)$ ist.

Die Lösung wird erst in der Vorlesung "Klassische Algebra" im SS99 verraten.

Für jede nicht leere Teilmenge $A$ eines Gruppoids $(G,*)$ bildet daher der Durchschnitt aller Untergruppoide von $(G,*)$, die $A$ umfassen, ein Untergruppoid, das von $A$ erzeugte Untergruppoid . Für einelementige Mengen $A\; =\; \{a\}$ schreibt man kurz anstelle von .

Gilt für eine Teilmenge $A$ eines Gruppoids $(G,*)$, so nennt man $A$ ein Erzeugendensystem von $(G,*)$.

Aufgabe: Man zeige, daß für jede nicht leere Teilmenge $A$ einer Halbgruppe $(H,*)$ gilt

Zur Lösung siehe oben!

Speziell besteht also genau aus den Potenzen von $a$

(1)

für alle $n$ aus $N$, die aber nicht alle paarweise verschieden sein müssen. Da zwei beliebige derartige Potenzen $an$ und $am$ aber gemäß

kommutieren, ist die Unterhalbgruppe stets kommutativ, unabhängig von der Kommutativität von $(H,*)$. Weiterhin bezeichnet man die Ordnung von , also die Anzahl der verschiedenen Potenzen (1) von $a$ als die Ordnung des Elementes $a$, in Zeichen .

Man nennt nun eine Halbgruppe $(H,*)$ monogen oder zyklisch, wenn es (wenigstens) ein $a$ aus $H$ mit gibt. Damit ist also jede zyklische Halbgruppe kommutativ.

Für eine Teilmenge $A$ einer Gruppe $(G,*)$ definiert man analog als den Durchschnitt aller Untergruppen von $(G,*)$, die $A$ enthalten. Da dieser stets eine Untergruppe von $(G,*)$ bildet, heißt die von $A$ erzeugte Untergruppe von $(G,*)$.

Aufgabe: Man zeige, daß für jede nicht leere Teilmenge $A$ einer Gruppe $(G,*)$ gilt

Zur Lösung siehe oben!

In diesem Fall besteht also genau aus allen Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Man nennt auch jetzt die Ordnung des Gruppenelementes $a$, in Zeichen . Nach dem Satz von Lagrange ist also die Ordnung $ord(a)$ stets ein Teiler der Gruppenordnung $|G|$.

Beispiele für zyklische Gruppen