Zyklische Halbgruppen und Gruppen


Ist (Ui,*) für jedes i aus einer Indexmenge I eine Unterhalbgruppe einer Halbgruppe (H,*) und D der Durchschnitt der Mengen Ui, dann ist, falls D nicht leer ist, (D,*) eine Unterhalbgruppe von (H,*), denn sind a und b Elemente von D, so liegen sie in jeder der bezüglich * abgeschlossenen Mengen Ui. Daher ist auch ihr Produkt a*b in jedem Ui enthalten und somit in D. Also ist D abgeschlossen bezüglich *. Damit ist natürlich auch der Durchschnitt von Untergruppoiden eines Gruppoids entweder leer oder ein Untergruppoid.

Aufgabe: Man zeige, daß der Durchschnitt beliebig vieler Untergruppen einer Gruppe (G,*) wieder eine Untergruppe von (G,*) ist.

Die Lösung wird erst in der Vorlesung "Klassische Algebra" im SS99 verraten.


Für jede nicht leere Teilmenge A eines Gruppoids (G,*) bildet daher der Durchschnitt aller Untergruppoide von (G,*), die A umfassen, ein Untergruppoid, das von A erzeugte Untergruppoid (<A>,*). Für einelementige Mengen A = {a} schreibt man kurz <a> anstelle von <{a}>.

Gilt <A> = G für eine Teilmenge A eines Gruppoids (G,*), so nennt man A ein Erzeugendensystem von (G,*).

Aufgabe: Man zeige, daß für jede nicht leere Teilmenge A einer Halbgruppe (H,*) gilt

<A> = {a1*...*an | n aus N und ai aus A für i=1,...,n }.

Zur Lösung siehe oben!

Speziell besteht also <a> genau aus den Potenzen von a

(1)

a1 = a, a2 = a*a, ... , an+1 = a*an, ...

für alle n aus N, die aber nicht alle paarweise verschieden sein müssen. Da zwei beliebige derartige Potenzen an und am aber gemäß

an*am = an+m = am+n = am*an

kommutieren, ist die Unterhalbgruppe (<a>,*) stets kommutativ, unabhängig von der Kommutativität von (H,*). Weiterhin bezeichnet man die Ordnung von (<a>,*), also die Anzahl der verschiedenen Potenzen (1) von a als die Ordnung des Elementes a, in Zeichen ord(a) = |<a>|.

Man nennt nun eine Halbgruppe (H,*) monogen oder zyklisch, wenn es (wenigstens) ein a aus H mit <a> = H gibt. Damit ist also jede zyklische Halbgruppe kommutativ.


Für eine Teilmenge A einer Gruppe (G,*) definiert man analog <A> als den Durchschnitt aller Untergruppen von (G,*), die A enthalten. Da dieser stets eine Untergruppe von (G,*) bildet, heißt (<A>,*) die von A erzeugte Untergruppe von (G,*).

Aufgabe: Man zeige, daß für jede nicht leere Teilmenge A einer Gruppe (G,*) gilt

<A> = {a1*...*an | n aus N und ai aus A oder ai-1 aus A für i=1,...,n }.

Zur Lösung siehe oben!

In diesem Fall besteht <a> also genau aus allen Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

..., a-n = (a-1)n, ... , a-1, a0 = e, a, ... , an, ...

Man nennt auch jetzt ord(a) = |<a>| die Ordnung des Gruppenelementes a, in Zeichen ord(a) = |<a>|. Nach dem Satz von Lagrange ist also die Ordnung ord(a) stets ein Teiler der Gruppenordnung |G|.


Beispiele für zyklische Gruppen

  • Die additive Gruppe (Z,+) der ganzen Zahlen ist eine zyklische Gruppe unendlicher Ordnung.

  • Die Restklassengruppen (Z/(n),+) (gelesen: Z modulo n) sind zyklische Gruppen, jeweils mit der Ordnung n.