Arbelos

Archimedes gab den Flächeninhalt $$F der folgenden Figur an, die er Arbelos ("Schustermesser") nannte. Sie wird heute auch als Möndchen oder (Mond-)Sichel des Archimedes bezeichnet.

Eine Strecke $c\; =\; AB$ werde durch einen Punkt $D$ in zwei Teile $p\; =\; AD$ und $q\; =\; DB$ geteilt. Das Lot in $D$ auf $AB$ schneide den Halbkreis über $AB$ in $C$. Es sei $h\; =\; CD$ die Höhe im rechtwinkligen Dreieck $ABC$. Zieht man von der Fläche des Halbkreises über $AB$ die Fläche der beiden Halbkreise über $AD$ und $DB$ ab, so entsteht der Arbelos. Es ist daher

$F\; =\; pi/8*c*c\; -\; pi/8*p*p\; -\; pi/8*q*q$
    = pi/8*((p+q)*(p+q) - p*p - q*q)
    = pi/8*(2*p*q) = pi/4*p*q = pi/4*h*h,

wobei zuletzt der Höhensatz $h*h\; =\; p*q$ im rechtwinkligen Dreieck verwendet wurde. Also ist F gerade der Flächeninhalt des Kreises mit dem Durchmesser $h\; =\; CD$.