Die dual-archimedischen Körper

Definition: Den zu einem archimedischen Körper $A$ dualen Körper $A\text{'}$ erhält man wie folgt. Durch die Ecken von $A$ lege man die Tangentialebenen an die den Körper $A$ umschreibende Kugel. Je zwei Tangentialebenen durch benachbarte Ecken von $A$ schneiden sich dann in einer Kante von $A\text{'}$. Alle Punkte dieser Kante sind von den beiden Ecken von $A$ dann gleich weit entfernt. Daher schneiden sich die Kanten von $A\text{'}$ jeweils in einer Ecke von $A\text{'}$, die senkrecht über dem Mittelpunkt einer Fläche von $A$ liegt. Also besitzt $A\text{'}$ ebensoviele Ecken, wie $A$ Flächen besitzt. Andererseits bestimmt jede Ecke von $A$ eindeutig über die zugehörige Tangentialebene eine Fläche von $A\text{'}$.

Es gibt daher die folgenden dual-archimedischen Körper:

1) Pentagonikositetraeder

Dieses ist der zum abgeschrägten Hexaeder duale Körper. Er hat demnach 38 Ecken, 60 Kanten und 24 Flächen, bei denen es sich um spiegelsymmetrische Fünfecke handelt. Diese besitzen zwei gleich lange benachbarte Seiten und drei ebenfalls gleich lange aber kürzere Seiten. Der spitze Winkel zwischen den beiden längeren Seiten beträgt ca. $80o46\; \text{'},$ die restlichen vier Winkel sind alle stumpf und gleich groß.

2) Rhombendodekaeder

Dieses ist der zum Kuboktaeder duale Körper. Er hat demnach 14 Ecken, 24 Kanten und 12 Flächen, bei denen es sich um Rhomben mit einem Diagonalenverhältnis von $sqrt(2)$ handelt. Es ist also einen Rhombenkörper.

3) Deltoidikositetraeder

Dieses ist der zum Rhombenkuboktaeder duale Körper. Er hat demnach 26 Ecken, 48 Kanten und 24 Flächen, bei denen es sich um Drachenvierecke handelt mit einem stumpfen Winkel von ca. $115o16\; \text{'}$ während die restlichen drei Winkel gleich groß sind.

4) Pentagonhexakontaeder

Dieses ist der zum abgeschrägten Dodekaeder duale Körper. Er hat demnach 92 Ecken, 150 Kanten und 60 Flächen, bei denen es sich um spiegelsymmetrische Fünfecke handelt. Diese besitzen zwei gleich lange benachbarte Seiten und drei ebenfalls gleich lange aber kürzere Seiten. Der spitze Winkel zwischen den beiden längeren Seiten beträgt ca. $67o28\; \text{'},$ die restlichen vier Winkel sind alle stumpf und gleich groß.

5) Deltoidhexakontaeder

Dieses ist der zum Rhombenikosidodekaeder duale Körper. Er hat demnach 62 Ecken, 120 Kanten und 60 Flächen, bei denen es sich um Drachenvierecke handelt mit Winkeln von ca. $118o16\; \text{'},\; 86o59\; \text{'},\; 67o46\; \text{'}$ und wieder $86o59\text{'}$.

6) Rhombentriakontaeder

Dieses ist der zum Ikosidodekaeder duale Körper. Er hat demnach 32 Ecken, 60 Kanten und 30 Flächen, bei denen es sich um Rhomben mit einem Diagonalenverhältnis von $(1\; +\; sqrt(5))/2$ handelt. Es ist also ein Rhombenkörper.

7) Triakistetraeder

Dieses ist der zum abgestumpften Tetraeder duale Körper. Er hat demnach 8 Ecken, 18 Kanten und 12 Flächen, bei denen es sich um gleichschenklige, stumpfwinklige Dreiecke handelt mit einem stumpfen Winkel von ca. $112o53\text{'}$. Man kann ihn sich dadurch entstanden denken, daß auf jede Fläche eines Tetraeders eine regelmäßige dreiseitige Pyramide aufgesetzt wurde.

8) Triakisoktaeder

Dieses ist der zum abgestumpften Hexaeder duale Körper. Er hat demnach 14 Ecken, 36 Kanten und 24 Flächen, bei denen es sich um gleichschenklige, stumpfwinklige Dreiecke handelt mit einem stumpfen Winkel von ca. $117o14\text{'}$. Man kann ihn sich dadurch entstanden denken, daß auf jede Fläche eines Oktaeders eine regelmäßige dreiseitige Pyramide aufgesetzt wurde.

9) Triakisikosaeder

Dieses ist der zum abgestumpften Dodekaeder duale Körper. Er hat demnach 32 Ecken, 90 Kanten und 60 Flächen, bei denen es sich um gleichschenklige, stumpfwinklige Dreiecke handelt mit einem stumpfen Winkel von ca. $119o3\text{'}$. Man kann ihn sich dadurch entstanden denken, daß auf jede Fläche eines Ikosaeders eine regelmäßige dreiseitige Pyramide aufgesetzt wurde.

10) Tetrakishexaeder

Dieses ist der zum abgestumpften Oktaeder duale Körper. Er hat demnach 14 Ecken, 36 Kanten und 24 Flächen, bei denen es sich um gleichschenklige Dreiecke handelt mit einem Scheitelwinkel von ca. $83o37\text{'}$. Man kann ihn sich dadurch entstanden denken, daß auf jede Fläche eines Hexaeders eine regelmäßige vierseitige Pyramide aufgesetzt wurde.

11) Hexakisoktaeder

Dieses ist der zum abgestumpften Kuboktaeder duale Körper. Er hat demnach 26 Ecken, 72 Kanten und 48 Flächen, bei denen es sich um schiefwinklige Dreiecke von ca. $87o12\; \text{'},\; 55o1\text{'}\; 30\text{'}\text{'}$ und$ 37o46\; \text{'}\; 30\text{'}\text{'}.$Man\; kann\; ihn\; sich\; dadurch\; entstanden\; denken,\; daß\; man\; auf\; die\; Flächen\; eines\; Oktaeders\; regelmäßige\; sechsseitige\; Pyramiden\; aufsetzt\; und\; zum\; Schnitt\; bringt.$$

12) Hexakisikosaeder

Dieses ist der zum abgestumpften Ikosidodekaeder duale Körper. Er hat demnach 62 Ecken, 180 Kanten und 120 Flächen, bei denen es sich um schiefwinklige Dreiecke von ca. $89o,\; 58o14\text{'}$ und$ 32o46\; \text{'}$handelt.\; Man\; kann\; ihn\; sich\; dadurch\; entstanden\; denken,\; daß\; man\; auf\; die\; Flächen\; eines\; Ikosaeders\; regelmäßige\; sechsseitige\; Pyramiden\; aufsetzt\; und\; zum\; Schnitt\; bringt.$$

13) Pentakisdodekaeder

Dieses ist der zum abgestumpften Ikosaeder duale Körper. Er hat demnach 32 Ecken, 90 Kanten und 60 Flächen, bei denen es sich um gleichschenklige Dreiecke handelt mit einem Scheitelwinkel von ca. $68o36\text{'}$. Man kann ihn sich dadurch entstanden denken, daß auf jede Fläche eines Dodekaeders eine regelmäßige fünfseitige Pyramide aufgesetzt wurde.

Weiterführende Literatur