Archimedische Spirale

Die einfachsten aller Spiralen haben Gleichungen der Form $r\; =\; a*t$ mit einer positiven reellen Konstanten $a$. Sie werden nach ihrem Entdecker Archimedes als archimedische Spirale bezeichnet. Diese Spiralen zeichnen sich durch einen konstanten Windungsabstand über den gesamten Definitionsbereich aus.

Gleichung:	r = at ; (a > 0)
Definitionsbereich:	t >= 0
Tangentenwinkel	= arctan(t)
Flächenelement:	dA = (a2/2 ) t2 dt
Bogenelement:	ds = sqrt (1 + (r/a)2 )dr
Krümmungsradius:	= ((r2 + a2)3/2 )/(r2 + 2*a2 )

Punktweise exakte Konstruktion und Näherungskonstruktionen

• Erste Definition durch Archimedes in seiner Abhandlung Über Spiralen
• Spiralen ("Schneckenlinien") bei Albrecht Dürer
• Näherung durch die Wurzelspirale
• Näherung durch Abwicklung regelmäßiger Vielecke

Tangenten

• Exakte Bestimmung durch Archimedes und Pappos,
• Unmöglichkeit einer exakten Konstruktion mit Zirkel und Lineal,
• Zusammenhang mit konischer Spirale und Schraubenlinie nach Pappos,
• Näherungskonstruktion durch Vieta

Fläche

• Berechnung der Fläche bereits durch Archimedes

Bogenlänge

• Fehlerhafte Bestimmung durch Guldin,
• Zusammenhang mit Parabellänge durch Fermat,
• endgültige Bestimmung der Länge durch Barrow

Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung

• Beschreibung durch Pappos

Archimedische Spirale als Quadratrix

• Beschreibung durch Vieta und Souvey

Anwendungsbeispiele

• Archimedische Spiralen bei der Datenspeicherung
• Weitere technische Anwendungen

Archimedische Spiralen bei der Datenspeicherung

Die archimedische Spirale kommt derzeit in und auf jedem handelsüblichen Informationsträger zur Anwendung. Beispielsweise werden auf einer CD die Daten in Form von Punkten und Strichen (gleichbedeutend für 0 und 1, den kleinstmöglichen digitalen Dateneinheiten), beginnend bei der innersten Spur der CD, spiralartig nach außen geschrieben. Bei Schallplatten und Vinyls geschieht dies nach dem selben Prinzip, nur daß hier die Spiralen in umgekehrter Richtung von außen nach innen verlaufen.

Bei Audio- und Videokassetten wird die Information auf einem Magnetband gespeichert, welches anschließend einfach auf einer Spule aufgewickelt wird. Dabei nimmt das Band wiederum die Form einer archimedischen Spirale an. Durch dieses Prinzip lassen sich riesige Bandmengen (bzw. bei CD und Schallplatte: Datenspuren) auf kleinstmöglichem Raum unterbringen.

Weitere technische Anwendungen

Aus dem gerade genannten Grund der Platzersparnis tritt die Archimedische Spirale auch bei der Aufwicklung von Tauen, Draht, Korbgeflechten oder Papier auf.

Wegen der einfachen Proportionalität zwischen Radius und Winkel ist sie als Kolbenform gut für die Umwandlung von Drehbewegungen in geradlinige Bewegungen geeignet. So wird ein herzförmiger, von zwei archimedischen Spiralen begrenzter Metallköroper zur Führung der Nadel in Nähmaschinen benutzt.