Tangentenkonstruktionen zur Archimedischen Spirale

Um die Tangente an die nach ihm benannte Spirale zu konstruieren beweist Archimedes folgenden Satz:

"Wenn eine Gerade die Spirale erster Umdrehung im Schnittpunkt mit der Leitlinie berührt und im festen Endpunkt des rotierenden Halbstrahls das Lot auf der Leitlinie errichtet wird, so weit, bis dieses die Tangente schneidet, so behaupte ich, daß dieses Lot [die Subtangente AG] gleich ist der Peripherie des Kreises."

Um also die Tangente im Punkt F zu konstruieren, errichtet man im ersten Schritt im Punkt A die Senkrechte zur "Leitlinie" AF. Gleichzeitig schlägt man um A mit dem Radius AF den Kreis. Auf der Senkrechten wird die Länge abgetragen, welche dem Umfang des Kreises entspricht. Es entsteht die Strecke AG, welche also die Länge 2*pi*AF hat. Die Gerade GF ist dann die gesuchte Tangente an die Spirale im Punkt F.

Da die Konstruktion der Tangente die Konstruktion einer Strecke der Länge 2*pi*AF erfordert, muß man also das Rektifikationsproblem für den Kreisumfang lösen. Da dieses mit Zirkel und Lineal allein nicht möglich ist, ist auch diese Tangentenkonstruktion nicht allein mit diesen Hilfsmitteln durchführbar.


Die Tangentenkonstruktion nach Pappos von Alexandria:

Beim Erzeugen einer archimedischen Spirale im Punkt (r,phi), betrachtet er die Schraubenlinie, die sich im konstanten Abstand r um ihre Achse windet und beim Erreichen des Winkels phi die Höhe r hat. In jedem Punkt der Schraubenlinie kann man sofort die Tangente angeben. Um von der Schraubenlinie zur ebenen Spirale, also vom Zylinder zur Ebene, zu gelangen, benutzt Pappos von Alexandria einen Kegel mit dem Öffnungswinkel pi/2, einer Achse, die mit der des Zylinders zusammenfällt und einer Kegelspitze, die senkrecht auf das Zentrum der Ebene trifft. Weil der Öffnungswinkel des Kegels ein rechter Winkel ist und somit das Dreieck aus Kegelkante, Zylinderkante und Ebene ein gleichseitig rechtwinkliges ist, entsprechen die Höhenunterschiede von Punkten auf dem Zylinder gerade den Abstandsunterschieden vom Zentrum in der Ebene. Die Tangente an die Schraubenlinie bildet im Bereich vom Berührungspunkt mit der Schraubenlinie bis zum Schnittpunkt mit der Basisebene eine Strecke mit der Länge r*phi. Sie steht unter dem Winkel beta=arccot(phi) zur Basisebene. Die Tangente der Kegelspirale liegt mit derjenigen der Schraubenlinie in einer Ebene. Dadurch, daß sie zusätzlich eine Radialkomponente hat, beträgt der Abstand der beiden Geraden beim Schnitt mit der Basisebene r. Projiziert man die Tangente an die Kegelspirale auf die Basisebene, so entsteht die Tangente an die ebene Spirale.

"Die Subtangente einer archimedischen Spirale im Punkt (r,phi) hat die Länge r*phi eines Kreisbogens mit dem Radius r und dem Winkel phi."

Pappos von Alexandria bezieht sich beim Ermitteln der Tangente an die ebene Spirale auf einen Zylinder und einen Kegel, also erreicht sein Ziel über Darstellungen im Raum. Archimedes gelangte zu der gleichen Erkenntnis, wobei er hingegen nur Überlegungen in der Ebene anstellte.


François Viéte gibt eine Näherungskonstruktion für die Tangente in einem beliebigen Punkt D der Archimedischen Spirale an:

"Trägt man am Radius zum Punkt D der Spirale nach beiden Seiten den gleichen, nicht allzu großen, konstruierbaren Winkel ab und erhält zwei weitere Spiralpunkte G und H, so fällt die äußere Winkelhalbierende des Dreiecks GDH bei D beinahe auf die Spiraltangente in D."

Um also näherungsweise eine Tangente am Punkt D zu konstruieren, trägt man an der Strecke BD, welche die Verbindung zwischen dem Spiralzentrum (B) und einem Punkt (hier der Punkt D) auf der Spirallinie darstellt, nach beiden Seiten den gleichen nicht allzu großen beliebigen Winkel ab. Man erhält auf der Spirallinie die Punkte G und H. Im nächsten Schritt werden zwei Geraden, g1 durch die Punkte D und G und g2 durch die Punkte D und H, konstruiert. Nun bildet man die Winkelhalbierende zwischen den beiden Geraden und erhält somit näherungsweise die Tangente am Punkt D.