Babylonische Zahlentripel

Auf einer Babylonischen Tontafel, die heute nach ihrem Entdecker Plimpton 322 genannt wird, finden sich die folgenden Zahlenreihen (hier natürlich aus dem Babylonischen Hexagesimalsystem ins Dezimalsystem übertragen).

n u2 - v2 u2 + v2
1 119 169
2 3367 4825
3 4601 6649
4 12709 18541
5 65 97
6 319 481
7 2291 3541
8 799 1249
9 481 769
10 4961 8161
11 45 75
12 1679 2929
13 161 289
14 1771 3229
15 56 106

Eine nähere Betrachtung der Zahlen in der zweiten und dritten Spalte zeigt, daß sie von der Form u2 - v2 und u2 + v2 sind. Wegen

2u2 = (u2 - v2) + (u2 + v2)

und

2v2 = (u2 + v2) - (u2 - v2)

lassen sich u und v hieraus mühelos bestimmen.

n u v 2uv u2 - v2 u2 + v2 x
1 12 5 120 119 169 1.9834
2 64 27 3456 3367 4825 1.9492
3 75 32 4800 4601 6649 1.9188
4 125 54 13500 12709 18541 1.8862
5 9 4 72 65 97 1.8150
6 20 9 360 319 481 1.7852
7 54 25 2700 2291 3541 1.7200
8 32 15 960 799 1249 1.6927
9 25 12 600 481 769 1.6427
10 81 40 6480 4961 8161 1.5861
11 2 1 4 3*(15 = 45) 5*(15 = 75) 1.5625
12 48 25 2400 1679 2929 1.4894
13 15 8 240 161 289 1.4500
14 50 27 2700 1771 3229 1.4302
15 9 5 90 56 106 1.3872

Nun bilden die drei Zahlen 2uv, u2 - v2 und u2 + v2 wegen

(2uv)2 + (u2 - v2)2 = (u2 + v2)2

für jede Wahl von u und v ein Pythagoräisches Zahlentripel. In Plimpton 322 sind außerdem (bis auf die Ausnahme Nr. 11) die Zahlen u und v teilerfremd.

Man nennt ein Pythagoräisches Zahlentripel ein Babylonisches Zahlentripel, wenn u und v nur die Primteiler 2, 3 und 5 besitzen. Dies sind gerade die Primteiler von 60, der Basis des Hexagesimalsystems. Die in Plimpton 322 verwendeten Tripel sind (mit der einen erwähnten Ausnahme, die ein Vielfaches eines derartigen Tripels darstellt) Babylonische Zahlentripel mit v < 60 und x = ((u2 + v2)/(2uv))2 < 2. Sie sind so angeordnet, daß x monoton fällt.