Babylonische Zahlentripel

Auf einer Babylonischen Tontafel, die heute nach ihrem Entdecker Plimpton 322 genannt wird, finden sich die folgenden Zahlenreihen (hier natürlich aus dem Babylonischen Hexagesimalsystem ins Dezimalsystem übertragen).

n	u² - v²	u² + v²
1	119	169
2	3367	4825
3	4601	6649
4	12709	18541
5	65	97
6	319	481
7	2291	3541
8	799	1249
9	481	769
10	4961	8161
11	45	75
12	1679	2929
13	161	289
14	1771	3229
15	56	106

Eine nähere Betrachtung der Zahlen in der zweiten und dritten Spalte zeigt, daß sie von der Form $u$ ² - v² und $u$ ² + v² sind. Wegen

2u² = (u² - v²) + (u² + v²)

und

2v² = (u² + v²) - (u² - v²)

lassen sich $u$ und $v$ hieraus mühelos bestimmen.

n	u	v	2uv	u² - v²	u² + v²	x
1	12	5	120	119	169	1.9834
2	64	27	3456	3367	4825	1.9492
3	75	32	4800	4601	6649	1.9188
4	125	54	13500	12709	18541	1.8862
5	9	4	72	65	97	1.8150
6	20	9	360	319	481	1.7852
7	54	25	2700	2291	3541	1.7200
8	32	15	960	799	1249	1.6927
9	25	12	600	481	769	1.6427
10	81	40	6480	4961	8161	1.5861
11	2	1	4	3*(15 = 45)	5*(15 = 75)	1.5625
12	48	25	2400	1679	2929	1.4894
13	15	8	240	161	289	1.4500
14	50	27	2700	1771	3229	1.4302
15	9	5	90	56	106	1.3872

Nun bilden die drei Zahlen $2uv, u$ ² - v² und $u$ ² + v² wegen

(2uv)² + (u² - v²)² = (u² + v²)²

für jede Wahl von $u$ und $v$ ein Pythagoräisches Zahlentripel. In Plimpton 322 sind außerdem (bis auf die Ausnahme Nr. 11) die Zahlen $u$ und $v$ teilerfremd.

Man nennt ein Pythagoräisches Zahlentripel ein Babylonisches Zahlentripel, wenn $u$ und $v$ nur die Primteiler 2, 3 und 5 besitzen. Dies sind gerade die Primteiler von 60, der Basis des Hexagesimalsystems. Die in Plimpton 322 verwendeten Tripel sind (mit der einen erwähnten Ausnahme, die ein Vielfaches eines derartigen Tripels darstellt) Babylonische Zahlentripel mit $v < 60$ und $x = ((u$ ² + v²)/(2uv))² < 2. Sie sind so angeordnet, daß $x$ monoton fällt.