Binomialkoeffizienten


Unter einem Binom (oder binomischen Ausdruck) versteht man einen Term der Form

(1)

(a + b)n

mit einem Exponenten n = 0, 1, 2, 3,... und beliebigen Rechengrößen (meist reellen oder komplexen Zahlen) a und b.

Schreibt man (1) in der Form eines Produktes aus n Faktoren

(2)

(a + b)*(a + b)*...*(a + b)

und darf man distributiv rechnen und kommutativ addieren, so läßt sich das Produkt (2) durch eine Summe von Einzelprodukten an-k * bk bzw. bn-k * ak (k = 0,1,...,n) darstellen.

Im Fall n = 2 geschieht dies etwa gemäß

(a + b)*(a + b) = a*(a + b) + b*(a + b) = a2 + a*b + b*a + b2.

Die eigentlich uninteressanten Spezialfälle n = 0 und n = 1 ordnen sich gemäß

(a + b)0 = 1 = 1*a0*b0 und (a + b)1 = a + b = 1*a1*b0 + 1*a0*b1 ein.

Gilt für die beiden Größen a und b auch das Kommutativgesetz a*b = b*a, so bleiben nur n + 1 Produkte der Form

(3)

an-k * bk

übrig, die allerdings auch mehrfach auftreten können, etwa für n = 3

(a + b)3 = 1*a3 + 3*a2*b + 3*a*b2 + 1*b3.

Diese Vielfachen der Produkte (3) in der Summendarstellung des Binoms (a + b)n heißen Binomialkoeffizienten der Ordnung n. Es gibt also für die jeweilige Ordnung n genau n + 1 Binomialkoeefizienten. Diese werden allgemein mit dem Symbol

(4)

k = 0,1,...,n bezeichnet (gelesen: "n über k").

Zwischen den Binomialkoeffizienten (derselben oder verschiedener Ordnung) gelten nun eine ganze Reihe von Rechenregeln und man kann einen konkreten Binomialkoeffizienten auch sehr viel schneller berechnen als über das explizite Ausmultiplizieren des entsprechenden Binoms. Eine besonders einprägsame Variante hierfür wurde von dem französischen Mathematiker Blaise Pascal entdeckt. Er schrieb die Binomialkoeffizienten derselben Ordnung n jeweils zentriert in eine Zeile und ordnete die Zeilen mit wachsender Ordnung untereinander an.
Für n = 0,1,2,3,4 also

1
1   1
1   2   1
1   3   3   1
1   4   6   4   1

Dabei bemerkte Pascal, daß ganz außen links und rechts jeweils eine 1 steht und daß sich jeder Koeffizient im "Innern" dieses Schemas als Summe der direkt über ihm stehenden Koeffizienten ergibt (die 6 in der Zeile der Ordnung 4 also als Summe der beiden Einträge 3 aus der Zeile der Ordnung 3). So kann man also jeden Binomialkoeffizienten einer vorgegebenen Ordnung n berechnen, indem man die betreffenden beiden Koeffizienten der Ordnung n - 1 berechnet.

Dieses dreieckige Schema der Binomialkoeffizienten wird heute zu Ehren seines Entdeckers auch Pascalsches Dreieck genannt. Es ist aber Pascal keineswegs der erste Entdecker dieses Dreiecks. Vielmehr war es schon lange vorher arabischen (Anfang des 11. Jahrhunderts) und chinesischen (spätestens 1303) Mathematikern bekannt, wie man aus den folgenden beiden Abbildungen entnehmen kann. Natürlich waren aber Pascal diese Vorgänger unbekannt.

Auszug aus der arabischen Handschrift Al-Bahir fi'ilm al hisab ("Das leuchtende Buch über die Arithmetik") von As-Samaw' al Ibn Jahja Al-Maghribi. (Aufbewahrt in der Bibliothek der Hagia Sophia, Katalog-Nr. 2718)
Der Autor dieser Handschrift lebte in Bagdad als Arzt, Philosoph und Mathematiker und starb gegen 1180 in Maragha. Er erwähnt in seinem Manuskript, daß er nicht der Verfasser dieser Tafel ist, sondern sie von dem Mathematiker Al-Karaji übernommen habe, der Ende des 10. oder Anfang des 11. Jahrhunderts geboren wurde. Es ist nicht bekannt, ob sie nicht noch älteren Datums ist.

Eine Seite aus dem 1303 von dem chinesischen Mathematiker Chu Shih-Chieh veröffentlichten Werk Ssu Yuan Yu.