Dekagon


Definition: Unter einem Dekagon versteht man ein regelmäßiges Zehneck, also ein ebenes konvexes Vieleck mit zehn Ecken, gleichlangen Kanten und gleichen Winkeln.

Verbindet man in einem regelmäßigen Zehneck jede zweite Ecke miteinander, so erhält man ein regelmäßiges Fünfeck.

Das gleichschenklige Dreieck ABC ist ähnlich zu dem Dreieck DBM, da der Winkel bei C der Peripheriwinkel über der Sehne AB ist und der Winkel bei M der halbe Zentriwinkel. Daher stimmen die Seitenverhältnisse AB : BC = a' : d und DB : BM = a : R überein. Nun ist a' die Seite des regelmäßigen Fünfecks und d dessen Diagonale. Deren Verhältnis ist aber der Goldene Schnitt phi = (1 + sqrt(5))/2. Also ist dies auch das Verhältnis zwischen dem Umkreisradius R und der Kantenlänge a des Dekagons. Daher gilt für den Umkreisradius

R = (1+sqrt(5))/2 * a.

Da in jedem regelmäßigen n-Eck zwischen dem Umkreisradius R, dem Inkreisradius r und der Kantenlänge a die Beziehung

R2 = r2 + (a/2)2

gilt, ergibt sich für den Radius des Inkreises

r = sqrt(5 + 2*sqrt(5))/2 * a.

Damit erhält man den Flächeninhalt des Dekagons

F = 10*r*a/2 = 5*sqrt(5 + 2*sqrt(5))/2 * a2.