Dreieck


Definition: Ein Dreieck besteht aus drei Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen, und den drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Punkten.

Bezeichnungen: Für die Bezeichnung der Punkte, Seiten und Winkel eines beliebigen Dreiecks benutzt man im allgemeinen die folgenden Bezeichnungen:

Die Mittelpunkte der Dreieckseiten a, b, c werden mit Ma, Mb, Mc bezeichnet, ihre Verbindungen mit dem jeweiligen Eckpunkt mit sa, sb, sc. Diese Strecken werden Seitenhalbierende genannt.

Satz über den Schwerpunkt: Verbindet man die Mittelpunkte zweier Seiten miteinander, so ist nach den Strahlensätzen diese Verbindungslinie parallel zur dritten Dreieckseite. Wendet man die Strahlensätze für C als Zentrum an, so sieht man, daß MaMb halb so lang ist wie AB. Wendet man nun die Strahlensätze für den Schnittpunkt S der beiden Seitenhalbierenden sa und sb als Zentrum an, so sieht man, daß S beide Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2 teilt. Also teilt jede Seitenhalbierende die jeweils anderen beiden in diesem Verhältnis. Daher schneiden sich alle drei Seitenhalbierenden in dem gemeinsamen Punkt S. Dieser wird Schwerpunkt des Dreiecks genannt.

Satz über den Umkreis: Errichtet man in Mc die Mittelsenkrechte auf c, so liegen auf ihr alle Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben. Analog liegen auf der Mittelsenkrechten in Ma auf a alle Punkte, die von B und C den gleichen Abstand haben. Der Schnittpunkt MU dieser beiden Mittelsenkrechten hat also von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand, d. h. sie liegen auf einem gemeinsamen Kreis um MU. Dieser Kreis wird Umkreis des Dreiecks genannt. Außerdem liegt MU auf der Mittelsenkrechten von b, d. h. alle Mittelsenkrechten schneiden sich in diesem Mittelpunkt des Umkreises.

Satz über den Inkreis: Auf der Winkelhalbierenden walpha des Winkels alpha liegen alle Punkte, die von den Seiten b und c den gleichen Abstand haben. Analog liegen auf der Winkelhalbierenden wbeta des Winkels beta alle Punkte, die von c und a den gleichen Abstand haben. Der Schnittpunkt MI dieser beiden Winkelhalbierenden hat daher von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand. Es gibt also einen Kreis um MI, der alle drei Seiten berührt. Dieser Kreis heißt Inkreis des Dreiecks. Außerdem liegt MI natürlich auf der Winkelhalbierenden von gamma, d. h. alle drei Winkelhalbierenden schneiden sich in diesem Mittelpunkt des Inkreises.

Satz über die Winkelsumme: Legt man in einem beliebigen Dreieck durch den Punkt C die Parallele zur Seite c und zeichnet die Wechselwinkel zu den Winkeln alpha und beta ein, so sieht man, daß für die Winkelsumme in jedem Dreick gilt

alpha + beta + gamma = 180o.

Klassifikation der Dreiecke: Man kann daher die Dreiecke in folgende Klassen einteilen:

Besitzt ein Dreieck eine Symmetrieachse, also eine Spiegelungsachse, so müssen auf beiden Seiten der Achse gleich viele Eckpunkte liegen. Da nach Definition des Dreiecks nicht alle drei Punkte auf der Achse liegen können, muß genau einer von ihnen auf der Achse liegen und die anderen beiden symmetrisch zu ihr. Eine Symmetrieachse geht also immer durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite, ist also eine Seitenhalbierende des Dreiecks. Die anderen beiden Seiten des Dreiecks liegen dann symmetrisch zur Achse und sind folglich gleich lang. Außerdem ist die Symmetrieachse Winkelhalbierende eines Winkels und die anderen beiden Winkel sind gleich. Man nennt daher ein Dreieck gleichschenklig, wenn es (mindestens) eine Symmetrieachse besitzt. Man kann also in jeder der oben angegebenen Klassen noch eine kleinere Teilklasse auszeichnen:

Schließlich ist es auch möglich, daß ein Dreieck mehr als eine Symmetrieachse besitzt. Da Symmetrieachsen aber nur symmetrisch bezüglich anderer Symmetrieachsen autreten können, gibt es nur noch die Möglichkeit, daß alle drei Seitenmitten (und damit auch Winkelhalbierenden) Symmetrieachsen sind. Dann sind aber auch alle Winkel und alle Seiten untereinander gleich. Man spricht von einem gleichseitigen Dreieck. Nach dem obigen Satz über die Winkelsumme ist jeder Winkel gleich 60o, es handelt sich dann also stets um ein gleichschenkliges spitzwinkliges Dreieck. Es ist daher sinnvoll, bei der Untersuchung von Dreiecken diese natürliche Unterteilung in sieben Klassen zu berücksichtigen:

Fällt man von einem der Eckpunkte eines Dreiecks das Lot auf die Verlängerung der gegenüberliegenden Dreieckseite, so schneidet dieses Lot die Dreieckseite (oder ihre Verlängerung im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks) im Lotfußpunkt. Die Verbindungsstrecke von Eckpunkt und Lotfußpunkt wird eine Höhe des Dreiecks genannt.

Satz über den Flächeninhalt: Ist g eine der Seiten des Dreiecks, die Grundseite, und h die zugehörige Höhe, so ergibt sich der Flächeninhalt A des Dreiecks zu

A = g*h/2.

Beweis: Für den Höhenfußpunkt F betrachtet man zwei Fälle. Im ersten Fall liegt F auf g. Dann wird das Dreieck durch h in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt und man erhält die angegebene Formel, indem man die Flächeninhalte der beiden rechtwinkligen Dreiecke nach der für diese Art von Dreiecken gültigen Formel berechnet und addiert. Im zweiten Fall, der nur eintreten kann, wenn es sich um ein stumpfwinkliges Dreieck handelt, liegt der Höhenfußpunkt außerhalb des Dreiecks auf der Verlängerung von g und man erhält die angegebene Formel, indem man die Flächeninhalte von zwei rechtwinkligen Dreiecken voneinander subtrahiert.