Definition: Ein Dreieck besteht aus drei Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen, und den drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Punkten.

Bezeichnungen: Für die Bezeichnung der Punkte, Seiten und Winkel eines beliebigen Dreiecks benutzt man im allgemeinen die folgenden Bezeichnungen:

Die Mittelpunkte der Dreieckseiten $a,\; b,\; c$ werden mit $M$_a, M_b, M_c bezeichnet, ihre Verbindungen mit dem jeweiligen Eckpunkt mit $s$_a, s_b, s_c. Diese Strecken werden Seitenhalbierende genannt.

Satz über den Schwerpunkt: Verbindet man die Mittelpunkte zweier Seiten miteinander, so ist nach den Strahlensätzen diese Verbindungslinie parallel zur dritten Dreieckseite. Wendet man die Strahlensätze für $C$ als Zentrum an, so sieht man, daß $M$_aM_b halb so lang ist wie $AB$. Wendet man nun die Strahlensätze für den Schnittpunkt $S$ der beiden Seitenhalbierenden $s$_a und $s$_b als Zentrum an, so sieht man, daß $S$ beide Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2 teilt. Also teilt jede Seitenhalbierende die jeweils anderen beiden in diesem Verhältnis. Daher schneiden sich alle drei Seitenhalbierenden in dem gemeinsamen Punkt $S$. Dieser wird Schwerpunkt des Dreiecks genannt.

Satz über den Umkreis: Errichtet man in $M$_c die Mittelsenkrechte auf $c$, so liegen auf ihr alle Punkte, die von $A$ und $B$ den gleichen Abstand haben. Analog liegen auf der Mittelsenkrechten in $M$_a auf $a$ alle Punkte, die von $B$ und $C$ den gleichen Abstand haben. Der Schnittpunkt $M$_U dieser beiden Mittelsenkrechten hat also von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand, d. h. sie liegen auf einem gemeinsamen Kreis um $M$_U. Dieser Kreis wird Umkreis des Dreiecks genannt. Außerdem liegt $M$_U auf der Mittelsenkrechten von $b$, d. h. alle Mittelsenkrechten schneiden sich in diesem Mittelpunkt des Umkreises.

Satz über den Inkreis: Auf der Winkelhalbierenden $w$_alpha des Winkels $alpha$ liegen alle Punkte, die von den Seiten $b$ und $c$ den gleichen Abstand haben. Analog liegen auf der Winkelhalbierenden $w$_beta des Winkels $beta$ alle Punkte, die von $c$ und $a$ den gleichen Abstand haben. Der Schnittpunkt $M$_I dieser beiden Winkelhalbierenden hat daher von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand. Es gibt also einen Kreis um $M$_I, der alle drei Seiten berührt. Dieser Kreis heißt Inkreis des Dreiecks. Außerdem liegt $M$_I natürlich auf der Winkelhalbierenden von $gamma$, d. h. alle drei Winkelhalbierenden schneiden sich in diesem Mittelpunkt des Inkreises.

Satz über die Winkelsumme: Legt man in einem beliebigen Dreieck durch den Punkt $C$ die Parallele zur Seite $c$ und zeichnet die Wechselwinkel zu den Winkeln $alpha$ und $beta$ ein, so sieht man, daß für die Winkelsumme in jedem Dreick gilt

• Spitzwinklige Dreiecke: alle drei Winkel sind spitze Winkel, also kleiner als $90o$
• Rechtwinklige Dreiecke: genau ein Winkel ist ein rechter Winkel (und die anderen beiden daher spitze Winkel)
• Stumpfwinklige Dreiecke: genau ein Winkel ist ein stumpfer Winkel, also größer als $90o$ (und die anderen beiden daher spitze Winkel)

Besitzt ein Dreieck eine Symmetrieachse, also eine Spiegelungsachse, so müssen auf beiden Seiten der Achse gleich viele Eckpunkte liegen. Da nach Definition des Dreiecks nicht alle drei Punkte auf der Achse liegen können, muß genau einer von ihnen auf der Achse liegen und die anderen beiden symmetrisch zu ihr. Eine Symmetrieachse geht also immer durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite, ist also eine Seitenhalbierende des Dreiecks. Die anderen beiden Seiten des Dreiecks liegen dann symmetrisch zur Achse und sind folglich gleich lang. Außerdem ist die Symmetrieachse Winkelhalbierende eines Winkels und die anderen beiden Winkel sind gleich. Man nennt daher ein Dreieck gleichschenklig, wenn es (mindestens) eine Symmetrieachse besitzt. Man kann also in jeder der oben angegebenen Klassen noch eine kleinere Teilklasse auszeichnen:

Fällt man von einem der Eckpunkte eines Dreiecks das Lot auf die Verlängerung der gegenüberliegenden Dreieckseite, so schneidet dieses Lot die Dreieckseite (oder ihre Verlängerung im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks) im Lotfußpunkt. Die Verbindungsstrecke von Eckpunkt und Lotfußpunkt wird eine Höhe des Dreiecks genannt.

Satz über den Flächeninhalt: Ist $g$ eine der Seiten des Dreiecks, die Grundseite, und $h$ die zugehörige Höhe, so ergibt sich der Flächeninhalt $$A des Dreiecks zu

Beweis: Für den Höhenfußpunkt $F$ betrachtet man zwei Fälle. Im ersten Fall liegt $F$ auf $g$. Dann wird das Dreieck durch $h$ in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt und man erhält die angegebene Formel, indem man die Flächeninhalte der beiden rechtwinkligen Dreiecke nach der für diese Art von Dreiecken gültigen Formel berechnet und addiert. Im zweiten Fall, der nur eintreten kann, wenn es sich um ein stumpfwinkliges Dreieck handelt, liegt der Höhenfußpunkt außerhalb des Dreiecks auf der Verlängerung von $g$ und man erhält die angegebene Formel, indem man die Flächeninhalte von zwei rechtwinkligen Dreiecken voneinander subtrahiert.