Regelmäßige n-Ecke bei

Albrecht Dürer

Überblick

In seiner aus vier Büchern bestehenden "Underweysung der messung mit dem zirckel un richtscheyt..." gibt Albrecht Dürer im zweiten Büchlein u. a. Konstruktionen für regelmäßige n-Ecke an. Er beginnt mit der bekannten Konstruktion des Sechsecks, aus dem er durch Überspringen jeder zweiten Ecke ein Dreieck konstruiert. Danach beschreibt er eine (Näherungs-)Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks, aus dem er durch Winkelhalbierung sofort ein 14-Eck konstruiert. Aus der bekannten Konstruktion eines in einen Kreis einbeschriebenen Quadrates gewinnt er durch zweimalige Winkelhalbierung das Achteck und das 16-Eck. Danach gibt er eine exakte Konstruktion für das regelmäßige Fünfeck an, aus dem er durch Winkelhalbierung das 10-Eck bekommt. Weiterhin gelingt aus dem Fünfeck mit Hilfe des Dreiecks die Konstruktion des regelmäßigen 15-Ecks. Einen gewissen Höhepunkt stellt die (Näherungs-)Konstruktion des regelmäßigen Neunecks dar, die unten beschrieben wird. Zum Abschluß gibt er noch recht einfache Näherungskonstruktionen für das regelmäßige Elfeck und das 13-Eck. Nimmt man an, daß ihm auch klar war, durch Winkelhalbierung aus dem Sechseck ein Zwölfeck konstruieren zu können, so hat hat Dürer in seiner "Underweysung" (Näherungs-)Konstruktionen für alle regelmäßigen n-Ecke von n=3 bis n=16 angegeben.

Regelmäßiges Neuneck

Dürer beschreibt die Näherungskonstruktion des regelmäßigen Neunecks wie folgt:

Ein neun eck ist durch ein dryangel zu finden/ also/ Reiß auß einem Centrum .a. ein grosse zirckellini/ darein reiß mit unuerrucktem zirckel/ drey fischs blosen/ der obern ende an der zirckellini sey .b. der andern end auf den seyten sey .c.d. Darnach reiß in der obern fischblosen ein aufrechte gerade lini .b.a. dise lini teil mitzweyen punkte .1.2. in drey gleiche felt/ also das 2. der negst punckt beym .a. sey/ unnd far durch den punckten .2. mit einer geraden zwerch lini zu gleichen wincklen .b.a. und wo sie die blosen lini zubeden seyten durchschneidet/ da setz .e.f. Darnach nym ein zirckel/ setz in mit dem fuß/ in das Centru .a. undden andern in den punckten .e. und reiß durch das .f. zu ring herumb/ ein zirckellini so geet die leng .e.f. zuneun mal in disem zirckelriß herum/ solchs hab ich hernach aufgeryssen.

Dürer beginnt also mit einem großen Kreis um ein Zentrum a. Mit dem Radius dieses Kreises konstruiert er das bekannte "Fischblasenmuster" (indem er den Radius sechsmal auf dem Kreisumfang abträgt und um jeden zweiten der so gewonnenen Punkte die Kreisbögen mit demselben Radius schlägt). So erhält er die Punkte b, c und d. Nun verbindet er in der "oberen Fischblase" b und a durch eine Gerade miteinander und teilt diese Strecke in 3 gleiche Teile (was ja mit Zirckel und Lineal möglich ist). Die Teilpunkte nennt er 1 und 2, wobei 2 näher zum Zentrum liegt. Nun legt er eine Gerade "quer zu ba in gleichen Winkeln", mit anderen Worten er konstruiert die Senkrechte auf ba im Punkt 2. Diese schneidet die Kreisbögen der "oberen Fischblase" in den Punkten e und f. Dann, so die Behauptung Dürers, ist die Strecke ef in dem Kreis um a mit dem Radius ae = af gerade die Seite eines regelmäßigen Neunecks. (Die Seite des Neunecks im ursprünglichen Kreis würde man also erhalten, wenn man ae und af jeweils über e bzw. f hinaus bis zu den Punkten g bzw. h auf dem Kreisumfang verlängert. Dies ist in der unten stehenden Zeichnung geschehen.)

Eine Berechnung des Fehlers dieser Näherungskonstruktion findet man in dem Nonagonreport von Alfred Rossi.