Fermatsche Primzahlen

Hierbei handelt es sich um Primzahlen der Form

p = 2

ⁿ + 1. Damit eine Zahl

p

dieser Art eine Primzahl sein kann, muß

n

selbst eine Potenz von 2 sein, also von der Form

n = 2

^m. Denn besitzt etwa

n

einen ungeraden Faktor

u > 1

, gilt also

n = c*u

mit einer natürlichen Zahl

c

, so hat man für

p = 2

^c*u + 1 = a^u + 1 mit

a = 2

^c die Zerlegung

p = a

^u + 1 = (a + 1)*(a^u-1 - a^u-2 + - ... + a² - a + 1),

d. h. $p$ ist keine Primzahl. Man nennt also $F$ _m = 2^{2^m} + 1 die $m$ -te Fermatsche Zahl und fragt danach, ob es sich tatsächlich um eine Primzahl handelt.

Für $m = 0, 1, 2, 3, 4$ ergeben sich in der Tat die Primzahlen

3, 5, 17, 257, 65537,

und Pierre de Fermat äußerte 1640 die Vermutung, daß dies stets der Fall sei. Aber schon 1732 konnte Leonhard Euler für $m = 5$ die Zerlegbarkeit gemäß

F

₅ = 4294967297 = 641*6700417

zeigen. Wegen $641 = 625 + 16 = 5$ ⁴ + 2⁴ teilt nämlich 641 die Zahl
$A = 2$ ²⁸*(5⁴ + 2⁴) = 5⁴*2²⁸ + 2³². Andererseits teilt 641 wegen $641 = 640 + 1 = 5*128 + 1 =
5*2$ ⁷ + 1 auch die Zahl $(5*2$ ⁷ + 1)*(5*2⁷ - 1) = 5²*2¹⁴ - 1, also auch $B = (5$ ²*2¹⁴ - 1)*(5²*2¹⁴ + 1) = 5⁴*2²⁸ - 1. Insgesamt teilt 641 daher die Differenz $A - B = 2$ ³² + 1 = F₅.

Im Jahre 1880 widerlegte Landry die Vermutung von Fermat auch für den Fall $m = 6$ , indem er die folgende Zerlegung fand

F

₆ = 274177*67280421310721.

Nachdem man auch für größere Fermatsche Zahlen schon einige Primfaktoren gefunden hatte (vgl. die unten stehenden Tabellen), gelang die vollständige Zerlegung von $F$ ₇ erst 1970 durch Morrison und Brillhart:

F

₇ = 59649589127497217*5704689200685129054721.

Euler und Lucas hatten gezeigt, daß Primfaktoren $p$ einer Fermatschen Zahl stets von der Form

p = k*2

ⁿ⁺² + 1

sind, beispielsweise

$F$ ₅ = (5*2⁷ + 1)*(52347*2⁷ + 1),
$F$ ₆ = (1071*2⁸ + 1)*(262814145745*2⁸ + 1) und
$F$ ₇ = (116503103764643*2⁹ + 1)*(11141971095088142685*2⁹ + 1).

Bis heute ist keine weitere Fermatsche Primzahl außer den oben angegebenen bekannt, man weiß aber von 213 Fermatschen Zahlen definitiv, daß sie zusammengesetzt sind. $F$ _2145451 ist die größte von ihnen. Obwohl die Fermatschen Zahlen $F$ _m mit wachsendem Index $m$ schnell anwachsen, hat man mittlerweile etliche weitere in Primfaktoren zerlegt. Die kleinste Fermatsche Zahl, für die noch keine vollständige Primfaktorzerlegung bekannt ist, ist die 1234-stellige Zahl $F$ ₁₂. Von ihr kennt man die ersten fünf Primfaktoren, nämlich $114689 = 7*2$ ¹⁴ + 1, 26017793 = 397*2¹⁶ + 1, 63766529 = 973*2¹⁶ + 1, 190274191361 = 11613415*2¹⁴ + 1 und $1256132134125569 = 76668221077*2$ ¹⁴ + 1. Man weiß weiterhin, daß der restliche Faktor C1187, der immerhin noch aus 1187 Stellen besteht, zusammengesetzt (Composite) ist, jedoch hat man noch keine konkrete Zerlegung für ihn.

Von einigen Fermatschen Zahlen ( $m = 14, 20, 22 , 24$ ), weiß man bisher nur, daß sie zusammengesetzt sind, ohne einen einzigen Faktor zu kennen. Von vielen Fermatschen Zahlen ( $m = 33, 34, 35, 40, 41, 44, 45,
46, 47, 50, ...$ ) ist bisher weder bekannt, ob sie Primzahlen sind, noch daß sie zusammengesetzt sind.

Die folgenden Übersichten und Tabellen geben den augenblicklichen Stand der Suche nach Primfaktoren von Fermatschen Zahlen wieder, die seit einigen Jahren auch mit dem Programm FERMAT von Leonid Durman im Internet durchgeführt wird. Insgesamt sind 246 Primfaktoren von Fermatschen Zahlen bekannt.

Die vollständigen Informationen zu $F$ ₀ bis $F$ ₇ finden sich bereits im oben stehenden Text.

F₈

Prent und Pollard fanden 1980 die Zerlegung

F

₈ = (604944512477*2¹¹ + 1)*P62 = 1238926361552897*P62,

wobei

P62=k*2

¹¹ + 1 eine 62-stellige Primzahl ist und k selbst 59 Stellen besitzt.

F₉

Nachdem Western bereits 1903 den Faktor

37*2

¹⁶ + 1 = 2424833 gefunden hatte, gelang die vollständige Faktorisierung

F

₉ = 2424833*7455602825647884208337395736200454918783366342657*P99,

erst 1990 Lenstra, Manasse und anderen. Dabei ist der zweite Faktor gleich

3640431067210880961102244011816628378312190597*2

¹¹ + 1

und im dritten Faktor

P99 = k*2

¹¹ + 1 besitzt die Zahl k bereits 96 Stellen.

F₁₀

Der erste Faktor

45592577 = 11131*2

¹² + 1 wurde 1953 von Selfridge gefunden, der zweite

6487031809 = 395937*2

¹⁴ + 1 im Jahre 1962 von Brillhart. 1995 gelang dann Brent die vollständige Faktorisierung, indem er den dritten Faktor

4659775785220018543264560743076778192897=
1137640572563481089664199400165229051*2

¹² + 1

und den vierten Faktor

P252 =k*2

¹³ + 1 bestimmte. Dabei besitzt die Zahl k schon 248 Stellen.

F₁₁

Bereits 1899 hatte Cunningham die ersten beiden Faktoren

319489 = 39*2

¹³ + 1 und

974849 = 119*2

¹³ + 1 gefunden. Die vollständige Faktorisierung gelang dann 1988 Brent und Morain, wobei Brent zunächst die beiden weiteren Faktoren

167988556341760475137 = 10253207784531279*2

¹⁴ + 1 und

3560841906445833920513 = 434673084282938711*2

¹³ + 1 fand und dann zusammen mit Morain den letzten Faktor

P564 = k*2

¹³ + 1, in dem k selbst 560 Stellen hat.

F₁₂

Die bekannten Primfaktoren wurden bereits oben angegeben. Den ersten fanden Lucas und Pervushin 1877, die beiden n&aumnl;chsten Western 1903. Den vierten Faktor fanden Hallyburton und Brillhart 1974 und den vorläufig letzten Baillie 1986, der auch nachwies, daß der weitere Faktor C1187 zusammengesetzt ist.

F₁₃

Den ersten Primfaktor

2710954639361 = 41365885*2

¹⁶ + 1 fanden Hallyburton und Brillhart 1974, den zweiten

2663848877152141313 = 20323554055421*2

¹⁷ + 1 und dritten

3603109844542291969 = 6872386635861*2

¹⁹ + 1 fand Crandall 1991, und den bisher letzten

319546020820551643220672513 = 609485665932753836099*2

¹⁹ + 1 Brent 1995, der auch nachwies, daß der verbleibende Faktor C2391 zusammengesetzt ist.

F₁₄

1963 bewiesen Selfridge und Hurwitz, daß die 4933-stellige Zahl F₁₄ zusammengesetzt ist. Mehr ist bisher nicht bekannt.

F₁₅

Den ersten Primfaktor

1214251009 = 579*2

²¹ + 1 fand Kraitchik bereits 1925, den zweiten

2327042503868417 = 17753925353*2

¹⁷ + 1 Gostin 1987, den vorläufig letzten

168768817029516972383024127016961 = 
1287603889690528658928101555*2

¹⁷ + 1 Crandall und van Halewyn 1997. Ebenfalls 1997 wies Brent nach, daß der restliche Faktor C9808 zusammengesetzt ist.

F₁₆

Den ersten Primfaktor

825753601 = 1575*2

¹⁹ + 1 fand Selfridge 1953, den bisher letzten

188981757975021318420037633 = 
180227048850079840107*2

²⁰ + 1 Crandall und Dilcher 1996. Im selben Jahr bewies Brent, daß der fehlende Faktor C19694 zusammengesetzt ist.

F₁₇

Den bisher einzigen Primfaktor

31065037602817 = 
59251857*2

¹⁹ + 1 fand Gostin 1978. Im Jahre 1987 bewies Baillie, daß der restliche Faktor C39444 zusammengesetzt ist.

F₁₈

Den ersten Primfaktor

13631489 = 13*2

²⁰ + 1 fand Western bereits 1903, den zweiten

81274690703860512587777 = 9688698137266697*2

²³ + 1 Crandall, McIntosh und Tardif 1999. Von dem restlichen Faktor C78884 bewies Crandall 1999, daß er zusammengesetzt ist.

F₁₉

Den ersten Primfaktor

70525124609 = 33629*2

²¹ + 1 fand Riesel 1962, den zweiten

646730219521 = 308385*2

²¹ + 1 Wrathall 1963. Von dem restlichen Faktor C157804 bewiesen Crandall, Doenias, Norrie und Young 1993, daß er zusammengesetzt ist.

F₂₀

1987 bewiesen Buell und Young, daß die 315653-stellige Zahl F₂₀ zusammengesetzt ist. Mehr ist bisher nicht bekannt.

F₂₁

Den bisher einzigen Primfaktor

4485296422913 = 534689*2

²³ + 1 fand Wrathall 1963. Crandall, Doenias, Norrie und Young zeigten dann 1993, daß der restliche Faktor C631294 zusammengesetzt ist.

F₂₂

1993 bewiesen Crandall, Doenias, Norrie und Young, daß die 1262612-stellige Zahl F₂₂ zusammengesetzt ist. Mehr ist bisher nicht bekannt.

F₂₃

Den ersten Primfaktor

167772161 = 5*2

²⁵ + 1 fand Pervushin bereits 1878. Mayer, Papadopoulos und Crandall zeigten dann 2000, daß der restliche Faktor C2525215 zusammengesetzt ist.

F₂₄

1999 bewiesen Mayer, Papadopoulos und Crandall, daß die 5050446-stellige Zahl F₂₄ zusammengesetzt ist. Mehr ist bisher nicht bekannt.

F₂₅

Es sind drei Primfaktoren bekannt

48413*2

²⁹ + 1 (entdeckt 1963 von Wrathall),

1522849979*2

²⁷ + 1 (entdeckt 1985 von Gostin) und

16168301139*2

²⁷ + 1 (entdeckt 1987 von McLaughlin). Unbekannt ist die weitere Struktur.

F₂₆

Es ist nur ein Primfaktor bekannt

143165*2

²⁹ + 1 (entdeckt 1963 von Wrathall). Unbekannt ist die weitere Struktur.

F₂₇

Es sind zwei Primfaktoren bekannt

141015*2

³⁰ + 1 (entdeckt 1963 von Wrathall) und

430816215*2

²⁹ + 1 (entdeckt 1985 von Gostin). Unbekannt ist die weitere Struktur.

F₂₈

Es ist nur ein Primfaktor bekannt

25709319373*2

³⁶ + 1 (entdeckt 1997 von Taura). Unbekannt ist die weitere Struktur.

F₂₉

Es ist nur ein Primfaktor bekannt

1120049*2

³¹ + 1 (entdeckt 1980 von Gostin und McLaughlin). Unbekannt ist die weitere Struktur.

F₃₀

Es sind zwei Primfaktoren bekannt

149041*2

³² + 1 (entdeckt 1963 von Wrathall) und

127589*2

³³ + 1 (entdeckt 1963 von Wrathall). Unbekannt ist die weitere Struktur.

F₃₁

Es ist nur ein Primfaktor bekannt

5463561471303*2

³³ + 1 (entdeckt 2001 von Kruppa und Forbes). Unbekannt ist die weitere Struktur.

F₃₂

Es ist nur ein Primfaktor bekannt

1479*2

³⁴ + 1 (entdeckt 1963 von Wrathall). Unbekannt ist die weitere Struktur.

Mit

F

₃₃ beginnt, wie oben schon erwähnt, die Liste der Fermatschen Zahlen, deren Struktur noch vollständig unbekannt ist. Das sporadische Wissen über bekannte Primfaktoren

p = k*2

ⁿ + 1 noch größerer Fermatscher Zahlen

F

_m wird durch die folgende Tabelle wiedergegeben.

m k n Entdeckungsdatum Entdecker
36 5 39 1886 Seelhoff
36 3759613 38 1981 Gostin, McLaughlin
37 1275438465 39 1991 Gostin
38 3 41 1903 Cullen, Cunningham, Western
38 2653 40 1963 Wrathall
39 21 41 1956 Robinson
42 43485 45 1963 Wrathall
43 212675402445 45 2000 Samidoost, Durman
48 2139543641769 50 2001 Bodschwinna, Durman
52 4119 54 1963 Wrathall
52 21626655 54 1982 Keller
55 29 57 1956 Robinson
58 95 61 1957 Robinson
61 54985063 66 1986 Gostin
62 697 64 1977 Shippee
63 9 67 1956 Robinson
64 17853639 67 1986 Gostin
66 7551 69 1977 Shippee
71 683 73 1977 Shippee
72 76432329 74 1986 Gostin
73 5 75 1906 Morehead
75 3447431 77 1982 Gostin
77 425 79 1957 Robinson, Selfridge
77 5940341195 79 1957 Taura
81 271 84 1957 Robinson, Selfridge
88 119942751127 90 2001 Nohara, Durman
90 198922467387 92 26.03.2001 Grobstich, Durman
91 1421 93 1977 Shippee
93 92341 96 1979 Baillie
94 482524552001 97 18.04.2001 Grobstich, Durman
99 16233 104 1979 Gostin, McLaughlin, Suyama
107 1289179925 111 1992 Gostin
116 3433149787 120 1999 Taura
117 7 120 1956 Robinson
122 5234775 124 1986 Gostin
125 5 127 1956 Robinson
133 88075576149 135 2001 Samidoost, Durman
142 8152599 145 1986 Gostin
144 17 147 1956 Robinson
146 37092477 148 1987 Gostin
147 3125 149 1979 Gostin, McLaughlin
147 124567335 149 1990 Gostin
150 1575 157 1956 Robinson
150 5439 154 1980 Gostin, McLaughlin, Suyama
164 1835601567 167 1993 Gostin
172 20569603303 174 2001 Durman
178 313047661 180 1991 Gostin
184 117012935 187 1990 Gostin
201 4845 204 1980 Gostin, McLaughlin
205 232905 207 1984 Keller
207 3 209 1956 Robinson
215 32111 217 1980 Suyama
226 15 229 1956 Robinson
228 29 231 1956 Robinson
230 372236097 232 2000 Durman
232 70899775 236 1991 Gostin
250 403 252 1957 Robinson, Selfridge
251 85801657 254 1991 Gostin
255 629 257 1979 Baillie
256 36986355 258 1991 Gostin
256 36986355 258 1991 Gostin
259 36654265 262 1991 Gostin
267 177 271 1957 Robinson, Selfridge
268 21 276 1956 Robinson
275 22347 279 1984 Keller
284 7 290 1956 Robinson
284 1061341513 286 2000 Durman
286 78472588395 288 02.11.2002 Vasily Danilov, Durman
287 5915 289 1980 Suyama
297 72677552745 301 13.02.2003 Vasily Danilov, Durman
298 247 302 1979 Baillie
301 7183437 304 1990 Gostin
316 7 320 1956 Robinson
329 1211 333 1981 Suyama
334 27609 341 1984 Keller
338 27654487 342 1990 Gostin
343 4844391185 345 2001 Vasily Danilov, Durman
353 18908555 355 1990 Gostin
370 573230511 373 2000 Durman
375 3733251 377 1986 Gostin
376 810373 378 1986 Gostin
380 321116871 385 2000 Durman
398 120845 401 1984 Keller
416 8619 418 1981 Suyama
416 38039 419 1984 Keller
417 118086729 421 1992 Gostin
431 5769285 434 1990 Gostin
452 27 455 1956 Robinson
468 27114089 471 1992 Gostin
480 5673968845 484 2001 Vasily Danilov, Durman
544 225 547 1979 Baillie
547 77377 550 1986 Gostin
556 127 558 1976 Matthew, Williams
569 6616590375 575 25.02.2003 Sergey Kuzmin, Durman
579 63856313 581 1999 Taura
620 10084141 624 1992 Gostin
635 4258979 645 1991 Gostin
637 11969 643 1984 Keller
642 52943971 644 1999 Taura
667 491628159 669 2001 Taura
692 717 695 1979 Atkin, Rickert
723 554815 730 1991 Gostin
744 17 747 1976 Matthew, Williams
851 497531 859 1988 Gostin
885 16578999 887 1992 Gostin
906 57063 908 1986 Gostin
931 1985 933 1980 Keller
971 541664191 976 2002 Komin, Durman
1069 137883 1073 1992 Gostin
1082 82165 1084 1991 Gostin
1114 11618577 1116 2001 Gostin
1123 25835 1125 1987 Gostin
1225 79707 1231 1991 Gostin
1229 29139 1233 1987 Gostin
1394 62705223 1396 2001 Taura
1451 13143 1454 1986 Gostin
1551 291 1553 1979 Atkin, Rickert
1598 10923781 1600 2000 Taura
1849 98855 1851 1992 Gostin
1945 5 1947 1957 Robinson
1990 150863 1993 1995 Taura
2023 29 2027 1979 Atkin, Rickert, Cormack, Williams
2059 591909 2063 2000 Ballinger, Gallot
2089 431 2099 1983 Suyama
2456 85 2458 1979 Atkin, Rickert
3310 5 3313 1979 Atkin, Rickert, Cormack, Williams
3506 501 3508 1986 Gostin
3723 13308899 3725 2002 Fougeron
4250 173373 4252 1999 Kerchner
4258 1435 4262 1993 Gostin
4332 2466157 4334 2002 Fougeron
4724 29 4727 1979 Cormack, Williams
5320 21341 5323 1998 Taura
5531 1503975 5533 2002 Gostin
5792 8872947 5794 25.02.2003 Fougeron
5957 421435 5960 2001 Gostin
6208 763 6210 1993 Gostin
6355 115185 6358 2000 Kerchner
6390 303 6393 1993 Gostin
6537 17 6539 1979 Cormack, Williams
6835 19 6838 1978 Keller
6909 6021 6912 1993 Gostin
7181 168329 7187 2000 Gostin
7309 145 7312 1992 Dubner
8239 7473 8242 1998 Prethaler, Gallot
8555 645 8557 1993 Dubner
9322 8247 9324 1999 Kerchner
9428 9 9431 1983 Keller
9448 19 9450 1980 Keller
9549 1211 9551 1998 Taura
9691 260435 9693 2001 Gostin
11695 203355 11703 2001 Gostin
12185 81 12189 1993 Dubner
13250 351 13252 1996 Taura
13623 48265 13626 2000 Gostin
14252 1173 14254 1997 Taura
14276 157 14280 1996 Taura
14528 17217 14530 2000 Gostin
15161 55 15164 1993 Dubner
17906 135 17909 1996 Taura
18749 11 18759 1992 Dubner
18757 33 18766 1993 Dubner
19211 13323 19220 2001 Gostin
22296 4777 22298 2001 Gostin
23069 681 23071 1997 Demichel, Gallot, Taura
23288 19 23290 1992 Dubner
23471 5 23473 1984 Keller
24651 99 24653 1996 Taura
25006 57 25010 1993 Young
28281 81 28285 1996 Taura
35563 357 35567 2000 Melo, Gallot
41894 4935 41897 2001 Fougeron
43665 2495 43667 2001 Fougeron
49093 165 49095 1998 Gallot
50078 7619 50081 2002 Axelsson
63679 169 63686 1998 Dubner, Gallot
83861 99 83863 1998 Gusev, Gallot
90057 189 90061 1999 Morenus, Gallot
91213 585 91215 2001 Axelsson
94798 21 94801 1995 Young
95328 7 95330 1994 Young
104448 927 104451 2001 Oleynick
113547 39 113549 1999 Renze, Gallot
114293 13 114296 1995 Young
125410 5 125413 1995 Young
142460 159 142462 2000 Melo, Gallot
146221 57 146223 2000 Lewis, Gallot
157167 3 175169 1995 Young
213319 3 213321 1996 Young
270091 63 270094 2002 Taura, Gallot
282717 51 282719 2002 Odermatt, Gallot
303088 3 303093 1998 Young
382447 3 382449 1999 Cosgrave, Gallot
2145351 3 2145353 21.02.2003 Cosgrave, Jobling, Woltman, Gallot

m	k	n	Entdeckungsdatum	Entdecker
36	5	39	1886	Seelhoff
36	3759613	38	1981	Gostin, McLaughlin
37	1275438465	39	1991	Gostin
38	3	41	1903	Cullen, Cunningham, Western
38	2653	40	1963	Wrathall
39	21	41	1956	Robinson
42	43485	45	1963	Wrathall
43	212675402445	45	2000	Samidoost, Durman
48	2139543641769	50	2001	Bodschwinna, Durman
52	4119	54	1963	Wrathall
52	21626655	54	1982	Keller
55	29	57	1956	Robinson
58	95	61	1957	Robinson
61	54985063	66	1986	Gostin
62	697	64	1977	Shippee
63	9	67	1956	Robinson
64	17853639	67	1986	Gostin
66	7551	69	1977	Shippee
71	683	73	1977	Shippee
72	76432329	74	1986	Gostin
73	5	75	1906	Morehead
75	3447431	77	1982	Gostin
77	425	79	1957	Robinson, Selfridge
77	5940341195	79	1957	Taura
81	271	84	1957	Robinson, Selfridge
88	119942751127	90	2001	Nohara, Durman
90	198922467387	92	26.03.2001	Grobstich, Durman
91	1421	93	1977	Shippee
93	92341	96	1979	Baillie
94	482524552001	97	18.04.2001	Grobstich, Durman
99	16233	104	1979	Gostin, McLaughlin, Suyama
107	1289179925	111	1992	Gostin
116	3433149787	120	1999	Taura
117	7	120	1956	Robinson
122	5234775	124	1986	Gostin
125	5	127	1956	Robinson
133	88075576149	135	2001	Samidoost, Durman
142	8152599	145	1986	Gostin
144	17	147	1956	Robinson
146	37092477	148	1987	Gostin
147	3125	149	1979	Gostin, McLaughlin
147	124567335	149	1990	Gostin
150	1575	157	1956	Robinson
150	5439	154	1980	Gostin, McLaughlin, Suyama
164	1835601567	167	1993	Gostin
172	20569603303	174	2001	Durman
178	313047661	180	1991	Gostin
184	117012935	187	1990	Gostin
201	4845	204	1980	Gostin, McLaughlin
205	232905	207	1984	Keller
207	3	209	1956	Robinson
215	32111	217	1980	Suyama
226	15	229	1956	Robinson
228	29	231	1956	Robinson
230	372236097	232	2000	Durman
232	70899775	236	1991	Gostin
250	403	252	1957	Robinson, Selfridge
251	85801657	254	1991	Gostin
255	629	257	1979	Baillie
256	36986355	258	1991	Gostin
256	36986355	258	1991	Gostin
259	36654265	262	1991	Gostin
267	177	271	1957	Robinson, Selfridge
268	21	276	1956	Robinson
275	22347	279	1984	Keller
284	7	290	1956	Robinson
284	1061341513	286	2000	Durman
286	78472588395	288	02.11.2002	Vasily Danilov, Durman
287	5915	289	1980	Suyama
297	72677552745	301	13.02.2003	Vasily Danilov, Durman
298	247	302	1979	Baillie
301	7183437	304	1990	Gostin
316	7	320	1956	Robinson
329	1211	333	1981	Suyama
334	27609	341	1984	Keller
338	27654487	342	1990	Gostin
343	4844391185	345	2001	Vasily Danilov, Durman
353	18908555	355	1990	Gostin
370	573230511	373	2000	Durman
375	3733251	377	1986	Gostin
376	810373	378	1986	Gostin
380	321116871	385	2000	Durman
398	120845	401	1984	Keller
416	8619	418	1981	Suyama
416	38039	419	1984	Keller
417	118086729	421	1992	Gostin
431	5769285	434	1990	Gostin
452	27	455	1956	Robinson
468	27114089	471	1992	Gostin
480	5673968845	484	2001	Vasily Danilov, Durman
544	225	547	1979	Baillie
547	77377	550	1986	Gostin
556	127	558	1976	Matthew, Williams
569	6616590375	575	25.02.2003	Sergey Kuzmin, Durman
579	63856313	581	1999	Taura
620	10084141	624	1992	Gostin
635	4258979	645	1991	Gostin
637	11969	643	1984	Keller
642	52943971	644	1999	Taura
667	491628159	669	2001	Taura
692	717	695	1979	Atkin, Rickert
723	554815	730	1991	Gostin
744	17	747	1976	Matthew, Williams
851	497531	859	1988	Gostin
885	16578999	887	1992	Gostin
906	57063	908	1986	Gostin
931	1985	933	1980	Keller
971	541664191	976	2002	Komin, Durman
1069	137883	1073	1992	Gostin
1082	82165	1084	1991	Gostin
1114	11618577	1116	2001	Gostin
1123	25835	1125	1987	Gostin
1225	79707	1231	1991	Gostin
1229	29139	1233	1987	Gostin
1394	62705223	1396	2001	Taura
1451	13143	1454	1986	Gostin
1551	291	1553	1979	Atkin, Rickert
1598	10923781	1600	2000	Taura
1849	98855	1851	1992	Gostin
1945	5	1947	1957	Robinson
1990	150863	1993	1995	Taura
2023	29	2027	1979	Atkin, Rickert, Cormack, Williams
2059	591909	2063	2000	Ballinger, Gallot
2089	431	2099	1983	Suyama
2456	85	2458	1979	Atkin, Rickert
3310	5	3313	1979	Atkin, Rickert, Cormack, Williams
3506	501	3508	1986	Gostin
3723	13308899	3725	2002	Fougeron
4250	173373	4252	1999	Kerchner
4258	1435	4262	1993	Gostin
4332	2466157	4334	2002	Fougeron
4724	29	4727	1979	Cormack, Williams
5320	21341	5323	1998	Taura
5531	1503975	5533	2002	Gostin
5792	8872947	5794	25.02.2003	Fougeron
5957	421435	5960	2001	Gostin
6208	763	6210	1993	Gostin
6355	115185	6358	2000	Kerchner
6390	303	6393	1993	Gostin
6537	17	6539	1979	Cormack, Williams
6835	19	6838	1978	Keller
6909	6021	6912	1993	Gostin
7181	168329	7187	2000	Gostin
7309	145	7312	1992	Dubner
8239	7473	8242	1998	Prethaler, Gallot
8555	645	8557	1993	Dubner
9322	8247	9324	1999	Kerchner
9428	9	9431	1983	Keller
9448	19	9450	1980	Keller
9549	1211	9551	1998	Taura
9691	260435	9693	2001	Gostin
11695	203355	11703	2001	Gostin
12185	81	12189	1993	Dubner
13250	351	13252	1996	Taura
13623	48265	13626	2000	Gostin
14252	1173	14254	1997	Taura
14276	157	14280	1996	Taura
14528	17217	14530	2000	Gostin
15161	55	15164	1993	Dubner
17906	135	17909	1996	Taura
18749	11	18759	1992	Dubner
18757	33	18766	1993	Dubner
19211	13323	19220	2001	Gostin
22296	4777	22298	2001	Gostin
23069	681	23071	1997	Demichel, Gallot, Taura
23288	19	23290	1992	Dubner
23471	5	23473	1984	Keller
24651	99	24653	1996	Taura
25006	57	25010	1993	Young
28281	81	28285	1996	Taura
35563	357	35567	2000	Melo, Gallot
41894	4935	41897	2001	Fougeron
43665	2495	43667	2001	Fougeron
49093	165	49095	1998	Gallot
50078	7619	50081	2002	Axelsson
63679	169	63686	1998	Dubner, Gallot
83861	99	83863	1998	Gusev, Gallot
90057	189	90061	1999	Morenus, Gallot
91213	585	91215	2001	Axelsson
94798	21	94801	1995	Young
95328	7	95330	1994	Young
104448	927	104451	2001	Oleynick
113547	39	113549	1999	Renze, Gallot
114293	13	114296	1995	Young
125410	5	125413	1995	Young
142460	159	142462	2000	Melo, Gallot
146221	57	146223	2000	Lewis, Gallot
157167	3	175169	1995	Young
213319	3	213321	1996	Young
270091	63	270094	2002	Taura, Gallot
282717	51	282719	2002	Odermatt, Gallot
303088	3	303093	1998	Young
382447	3	382449	1999	Cosgrave, Gallot
2145351	3	2145353	21.02.2003	Cosgrave, Jobling, Woltman, Gallot

Fermatsche Primzahlen

F8

F9

F10

F11

F12

F13

F14

F15

F16

F17

F18

F19

F20

F21

F22

F23

F24

F25

F26

F27

F28

F29

F30

F31

F32

F₈

F₉

F₁₀

F₁₁

F₁₂

F₁₃

F₁₄

F₁₅

F₁₆

F₁₇

F₁₈

F₁₉

F₂₀

F₂₁

F₂₂

F₂₃

F₂₄

F₂₅

F₂₆

F₂₇

F₂₈

F₂₉

F₃₀

F₃₁

F₃₂