Folgerungen aus dem Eulerschen Polyedersatz


Unter der Valenz einer Ecke E eines Polyeders P versteht man die Anzahl der Kanten (oder auch der Flächen) des Polyeders, die in dieser Ecke zusammentreffen. Diese Anzahl ist offensichtlich immer mindestens gleich 3. Bezeichnet man mit e die Anzahl aller Ecken von P und mit en für n=3,4,... die Anzahl aller Ecken der Valenz n, so gilt

(1)

e = e3 + e4 + ...

Entsprechend versteht man unter der Valenz einer Fläche F eines Polyeders P die Anzahl der Kanten (oder auch der Ecken) des Polyeders, die auf dem Rand von F liegen. Diese Anzahl ist ebenfalls immer mindestens gleich 3. Bezeichnet man mit f die Anzahl aller Flächen von P und mit fn für n=3,4,... die Anzahl aller Flächen der Valenz n, so gilt

(2)

f = f3 + f4 + ...

Ist weiterhin k die Anzahl aller Kanten von P, so gilt

(3)

2k = 3e3 + 4e4 + 5e5 +...

und

(4)

2k = 3f3 + 4f4 + 5f5 +...,

da jede Kante zu genau zwei Ecken und zu genau zwei Flächen des Polyeders gehört.

Aus (3) und (1) ergibt sich sofort 2k >= 3e3 + 3e4 + 3e5 + ... = 3e, also

(5)

3e <= 2k

und aus (4) und (2) entsprechend

(6)

3f <= 2k.

Es sei nun P ein Polyeder, in dem der Eulersche Polyedersatz

(7)

e - k + f = 2

gilt, was insbesondere für jedes konvexe Polyeder der Fall ist. Wegen e = k - f + 2 bzw. f = k - e + 2 erhält man dann aus (5) und (6) weiter 3(k - f + 2) <= 2k und 3(k - e + 2) <= 2k, also über (6) und (5) hinaus

(8)

k+6 <= 3f <= 2k

und

(9)

k+6 <= 3e <= 2k.

Aus (7) ergibt sich unmittelbar

(7')

2e + 2f = 2k + 4

und hieraus mit (5) und (6) weiter 2e + 2f >= 3f + 4 und 2e + 2f >= 3e + 4, also f + 4 <= 2e und e + 4 <= 2f. Nach Multiplikation mit 2 kann man diese beiden Ungleichungen kombinieren zu

(10)

f + 4 <= 2e <= 4f - 8

und

(11)

e + 4 <= 2f <= 4e - 8.

Mit Hilfe dieser allgemeinen Beziehungen zwischen e, f und k lassen sich nun weitere spezielle Aussagen beweisen. Setzt man etwa (1), (2) und (3) in (7') ein, so erhält man 2(e3 + e4 + ...) + 2(f3 + f4 + ...) - (3e3 + 4e4 + ...) = 4, also

(12)

2(f3 + f4 + ...) - (e3 + 2e4 + 3e5 + ...) = 4

und analog aus (1), (2), (4) und (7')

(12')

2(e3 + e4 + ...) - (f3 + 2f4 + 3f5 + ...) = 4.

Addition von (12) und (12') liefert f3 - f5 - 2f6 - ... + e3 - e5 - 2e6 - ... = 8 oder

(13)

e3 + f3 = 8 + (e5 + f5) + 2(e6 + f6) + ...

Multipliziert man (12) mit 2 und addiert dies zu (12'), so ergibt sich

(14)

3f3 + 2f4 + f5 - f7 - 2f8 - ... = 12 + 2(e4 + 2e5 + 3e6 + ...) .

Multipliziert man (12') mit 2 und addiert dies zu (12), so ergibt sich analog

(14')

3e3 + 2e4 + e5 - e7 - 2e8 - ... = 12 + 2(f4 + 2f5 + 3f6 + ...) .

Multipliziert man (12) mit 3 und (12') mit 2 und addiert man die Ergebnisse, so erhält man

(15)

4f3 + 2f4 + e3 = 20 + 2 f6 + ... + 2e4 + 5e5 + ...

und durch Vertauschung der Rollen von (12) und (12')

(15')

4e3 + 2e4 + f3 = 20 + 2e6 + ... + 2f4 + 5f5 + ...


Durch geeignete Kombinationen der Gleichungen (12) und (12') lassen sich also Gleichungen herstellen, in denen jeweils ein vorgegebener Koeffizient en bzw. fn nicht mehr auftritt. Aus solchen Gleichungen lassen sich dann spezielle Einschränkungen für Polyeder P herleiten, die dem Eulerschen Polyedersatz genügen. Einige dieser Bedingungen sind im folgenden Satz zusammengefaßt.

Satz: Es sei P ein Polyeder, in dem (7) gilt.

1. Es ist e3 + f3 >= 8. Hat insbesondere keine Fläche und keine Kante eine Valenz größer als 4, so gilt sogar e3 + f3 = 8.

2. Aus f4 = f5 = 0 folgt f3 >= 4.

3. Aus f3 = f5 = 0 folgt f4 >= 6.

4. Aus f3 = f4 = 0 folgt f5 >= 12.

5. Aus e4 = e5 = 0 folgt e3 >= 4.

6. Aus e3 = e5 = 0 folgt e4 >= 6.

7. Aus e3 = e4 = 0 folgt e5 >= 12.

Beweis: 1. folgt unmittelbar aus (13).
2. Aus (14) folgt mit f4 = f5 = 0 sofort 3f3 >= 12, also f3 >= 4.
3. und 4. folgen wie 2. aus (14).
5. - 7. folgen analog aus (14').


Andererseits kann man die oben hergeleiteten Bedingungen auch zur Bestimmung sämtlicher derartiger Polyeder P mit kleiner Kantenzahl k benutzen:

Aus (8) folgt jedenfalls 6 <= k..

Für k = 6 ergeben (8) und (9) direkt f = 4 und e = 4, also ein beliebiges Tetraeder.

Für k = 7 ergibt (8) die unerfüllbare Bedingung 13 <= 3f <= 14.

Für k = 8 erhält man aus (8) und (9) die Bedingungen 14 <= 3f <= 16 und 14 <= 3e <= 16, was auf f = 5 und e = 5 und daher f3 <= 5 sowie e3 <= 5 führt. Nun ergibt e3 = 5 mit (3) aber die unmögliche Bedingung 16 = 15 + 4e4 +.... Ebenso führt f3 = 5 mit (4) auf einen Widerspruch. Wegen 1. bleibt daher nur e3 = 4 und f3 = 4. Dann liefern (3) und (4) aber sofort e4 = 1 und f4 = 1, während alle anderen Valenzen verschwinden. Es handelt sich bei P also um eine beliebige vierseitige Pyramide.

Für k = 9 erhält man aus (8) und (9) die Bedingungen 15 <= 3f <= 18 und 15 <= 3e <= 18. Wegen e + f = 11 nach (2) ist dies nur für e = 5 und f = 6 sowie e = 6 und f = 5 möglich. Insbesondere gilt also e3 <= 6 und f3 <= 6. , was mit 1. auch e3 >= 2 und f3 >= 2 impliziert. Durch detaillierte Untersuchung der verbleibenden Fälle lassen sich alle bis auf e3 = 2, e4 = 3, f3 = 6 und e3 = 6, f3 = 2, f4 = 3. Der erste Fall führt auf eine dreiseitige Dipyramide, der zweite auf ein dreiseitiges Prisma.