Folgerungen aus dem Eulerschen Polyedersatz

Unter der Valenz einer Ecke $E$ eines Polyeders $P$ versteht man die Anzahl der Kanten (oder auch der Flächen) des Polyeders, die in dieser Ecke zusammentreffen. Diese Anzahl ist offensichtlich immer mindestens gleich 3. Bezeichnet man mit $e$ die Anzahl aller Ecken von $P$ und mit $e$_n für $n=3,4,...$ die Anzahl aller Ecken der Valenz $n$, so gilt

(1)

Entsprechend versteht man unter der Valenz einer Fläche $F$ eines Polyeders $P$ die Anzahl der Kanten (oder auch der Ecken) des Polyeders, die auf dem Rand von $F$ liegen. Diese Anzahl ist ebenfalls immer mindestens gleich 3. Bezeichnet man mit $f$ die Anzahl aller Flächen von $P$ und mit $f$_n für $n=3,4,...$ die Anzahl aller Flächen der Valenz $n$, so gilt

(2)

Ist weiterhin $k$ die Anzahl aller Kanten von $P$, so gilt

(3)

und

(4)

da jede Kante zu genau zwei Ecken und zu genau zwei Flächen des Polyeders gehört.

Aus (3) und (1) ergibt sich sofort $2k\; >=\; 3e$₃ + 3e₄ + 3e₅ + ... = 3e, also

(5)

und aus (4) und (2) entsprechend

(6)

Es sei nun $P$ ein Polyeder, in dem der Eulersche Polyedersatz

(7)

gilt, was insbesondere für jedes konvexe Polyeder der Fall ist. Wegen $e\; =\; k\; -\; f\; +\; 2$ bzw. $f\; =\; k\; -\; e\; +\; 2$ erhält man dann aus (5) und (6) weiter und , also über (6) und (5) hinaus

(8)

und

(9)

Aus (7) ergibt sich unmittelbar

(7')

und hieraus mit (5) und (6) weiter $2e\; +\; 2f\; >=\; 3f\; +\; 4$ und $2e\; +\; 2f\; >=\; 3e\; +\; 4$, also und Nach Multiplikation mit 2 kann man diese beiden Ungleichungen kombinieren zu

(10)

und

(11)

Mit Hilfe dieser allgemeinen Beziehungen zwischen $e,\; f$ und $k$ lassen sich nun weitere spezielle Aussagen beweisen. Setzt man etwa (1), (2) und (3) in (7') ein, so erhält man $2(e$₃ + e₄ + ...) + 2(f₃ + f₄ + ...) - (3e₃ + 4e₄ + ...) = 4,$also$

(12)

und analog aus (1), (2), (4) und (7')

(12')

Addition von (12) und (12') liefert $f$₃ - f₅ - 2f₆ - ... + e₃ - e₅ - 2e₆ - ... = 8 oder

(13)

Multipliziert man (12) mit 2 und addiert dies zu (12'), so ergibt sich

(14)

Multipliziert man (12') mit 2 und addiert dies zu (12), so ergibt sich analog

(14')

Multipliziert man (12) mit 3 und (12') mit 2 und addiert man die Ergebnisse, so erhält man

(15)

und durch Vertauschung der Rollen von (12) und (12')

(15')

Durch geeignete Kombinationen der Gleichungen (12) und (12') lassen sich also Gleichungen herstellen, in denen jeweils ein vorgegebener Koeffizient $e$_n bzw. $f$_n nicht mehr auftritt. Aus solchen Gleichungen lassen sich dann spezielle Einschränkungen für Polyeder $P$ herleiten, die dem Eulerschen Polyedersatz genügen. Einige dieser Bedingungen sind im folgenden Satz zusammengefaßt.

Satz: Es sei $P$ ein Polyeder, in dem (7) gilt.

1. Es ist $e$₃ + f₃ >= 8. Hat insbesondere keine Fläche und keine Kante eine Valenz größer als 4, so gilt sogar $e$₃ + f₃ = 8.

2. Aus $f$₄ = f₅ = 0 folgt $f$₃ >= 4.

3. Aus $f$₃ = f₅ = 0 folgt $f$₄ >= 6.

4. Aus $f$₃ = f₄ = 0 folgt $f$₅ >= 12.

5. Aus $e$₄ = e₅ = 0 folgt $e$₃ >= 4.

6. Aus $e$₃ = e₅ = 0 folgt $e$₄ >= 6.

7. Aus $e$₃ = e₄ = 0 folgt $e$₅ >= 12.

Beweis: 1. folgt unmittelbar aus (13).
2. Aus (14) folgt mit $f$₄ = f₅ = 0 sofort $3f$₃ >= 12, also $f$₃ >= 4.
3. und 4. folgen wie 2. aus (14).
5. - 7. folgen analog aus (14').

Andererseits kann man die oben hergeleiteten Bedingungen auch zur Bestimmung sämtlicher derartiger Polyeder $P$ mit kleiner Kantenzahl $k$ benutzen:

Aus (8) folgt jedenfalls .

Für $k\; =\; 6$ ergeben (8) und (9) direkt $f\; =\; 4$ und $e\; =\; 4$, also ein beliebiges Tetraeder.

Für $k\; =\; 7$ ergibt (8) die unerfüllbare Bedingung

Für $k\; =\; 8$ erhält man aus (8) und (9) die Bedingungen und was auf $f\; =\; 5$ und $e\; =\; 5$ und daher $f$₃ <= 5 sowie $e$₃ <= 5 führt. Nun ergibt $e$₃ = 5 mit (3) aber die unmögliche Bedingung $16\; =\; 15\; +\; 4e$₄ +.... Ebenso führt $f$₃ = 5 mit (4) auf einen Widerspruch. Wegen 1. bleibt daher nur $e$₃ = 4 und $f$₃ = 4. Dann liefern (3) und (4) aber sofort $e$₄ = 1 und $f$₄ = 1, während alle anderen Valenzen verschwinden. Es handelt sich bei $P$ also um eine beliebige vierseitige Pyramide.

Für $k\; =\; 9$ erhält man aus (8) und (9) die Bedingungen und Wegen $e\; +\; f\; =\; 11$ nach (2) ist dies nur für $e\; =\; 5$ und $f\; =\; 6$ sowie $e\; =\; 6$ und $f\; =\; 5$ möglich. Insbesondere gilt also $e$₃ <= 6 und $f$₃ <= 6. , was mit 1. auch $e$₃ >= 2 und $f$₃ >= 2 impliziert. Durch detaillierte Untersuchung der verbleibenden Fälle lassen sich alle bis auf $e$₃ = 2, e₄ = 3, f₃ = 6 und $e$₃ = 6, f₃ = 2, f₄ = 3. Der erste Fall führt auf eine dreiseitige Dipyramide, der zweite auf ein dreiseitiges Prisma.