Der Goldene Schnitt


Eine Strecke AB wird durch einen Punkt C im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die kürzere Teilstrecke zur längeren Teilstrecke so verhält, wie die längere Teilstrecke zu AB. Bezeichnet man die längere Teilstrecke mit x und die kürzere Teilstrecke mit 1-x, so muß also gelten

x : 1 = (1-x) : x.

Also ist x (positive) Lösung der quadratischen Gleichung

x2 + x - 1 = 0.

Bezeichnet man diese Zahl mit rho, so hat man

rho = (sqrt(5)-1)/2 = 0.61803...

Bezeichnet -phi die negative Lösung der obigen quadratischen Gleichung, so gilt

phi = (sqrt(5)+1)/2 = 1.61803...

und diese Zahl phi wird auch Goldener Schnitt genannt. (In manchen Büchern findet man auch das Symbol tau anstelle von phi.) Die beiden Zahlen rho und phi stehen in folgenden Beziehungen zueinander

phi*rho = 1,

phi - rho = 1,

phi + rho = sqrt(5),

rho2 = 1 - rho,

phi2 = 1 + phi.

Außerdem sind phi und -rho die Lösungen der quadratischen Gleichung

x2 - x - 1 = 0.

Also gilt phi2 = phi + 1, woraus durch Multiplikation mit phin folgt

phin+2 = phin+1 + phin

für alle natürlichen Zahlen n. Daher zeigt eine vollständige Induktion, daß man jede Potenz von phi als Linearkombination von phi und 1 schreiben kann, etwa als

phin+2 = an+2*phi + an+1*1.

Für die Koeffizienten an gilt hierbei offensichtlich a1 = 1 und a2 = 1 sowie die Rekursionsvorschrift

an+2 = an+1 + an.

Es handelt sich also um die wohlbekannte Fibonacci-Folge. Dieselben Überlegungen treffen natürlich ebenfalls auf die andere Lösung -rho derselben quadratischen Gleichung zu, so daß man auch erhält

(-rho)n+2 = an+2*(-rho) + an+1*1.

Bildet man nun die Differenz der Formeln für phin+2 und (-rho)n+2, so erhält man

phin+2 - (-rho)n+2 = an+2 (phi + rho).

Mit den oben angegebenen Werten für phi und rho erhält man so eine explizite nichtrekursive Darstellung der Fibonacci-Zahlen

an = 1/sqrt(5)*(phin - (-rho)n) = 1/sqrt(5)*(((sqrt(5)+1)/2)n - ((1-sqrt(5))/2)n),

zunächst für n>2, was man aber auch für n=1 und n=2 bestätigt.

Hieraus ersieht man wegen | -rho | < 1, daß einerseits die Fibonacci-Zahlen mit wachsendem n gegen 1/sqrt(5)*phin streben und andererseits der Quotient an+1/an zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen gegen phi strebt.