Der Goldene Schnitt

Eine Strecke AB wird durch einen Punkt C im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die kürzere Teilstrecke zur längeren Teilstrecke so verhält, wie die längere Teilstrecke zu AB. Bezeichnet man die längere Teilstrecke mit x und die kürzere Teilstrecke mit 1-x, so muß also gelten

Also ist x (positive) Lösung der quadratischen Gleichung

Bezeichnet man diese Zahl mit rho, so hat man

Bezeichnet -phi die negative Lösung der obigen quadratischen Gleichung, so gilt

und diese Zahl phi wird auch Goldener Schnitt genannt. (In manchen Büchern findet man auch das Symbol tau anstelle von phi.) Die beiden Zahlen rho und phi stehen in folgenden Beziehungen zueinander

Außerdem sind phi und -rho die Lösungen der quadratischen Gleichung

Also gilt $phi2=\; phi\; +\; 1,$ woraus durch Multiplikation mit $phin$ folgt

für alle natürlichen Zahlen n. Daher zeigt eine vollständige Induktion, daß man jede Potenz von phi als Linearkombination von phi und 1 schreiben kann, etwa als

Für die Koeffizienten $a$_n gilt hierbei offensichtlich $a$₁ = 1 und $a$₂ = 1 sowie die Rekursionsvorschrift

Es handelt sich also um die wohlbekannte Fibonacci-Folge. Dieselben Überlegungen treffen natürlich ebenfalls auf die andere Lösung -rho derselben quadratischen Gleichung zu, so daß man auch erhält

Bildet man nun die Differenz der Formeln für $phin+2$ und $(-rho)n+2$, so erhält man

Mit den oben angegebenen Werten für phi und rho erhält man so eine explizite nichtrekursive Darstellung der Fibonacci-Zahlen

zunächst für n>2, was man aber auch für n=1 und n=2 bestätigt.

Hieraus ersieht man wegen daß einerseits die Fibonacci-Zahlen mit wachsendem n gegen $1/sqrt(5)*phin$ streben und andererseits der Quotient $a$_n+1/a_n zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen gegen phi strebt.