Ikosaeder

Zur Bestimmung des Radius R der umschreibenden Kugel des Ikosaeders und des Radius r der in das Ikosaeder einbeschriebenen Kugel legt man eine Schnittebene durch zwei solche Kanten des Ikosaeders, die einander parallel gegenüberliegen. Die zu diesen Kanten gehörenden Ecken des Ikosaeders seien E1 und E2 bzw. E3 und E4. Offensichtlich liegt auch das Zentrum Z des Ikosaeders in dieser Schnittebene. Weiterhin schneidet die Ebene die Oberfläche des Ikosaeders außer in den zwei Kanten noch in genau vier Seitenmitten von vier Dreiecksflächen des Ikosaeders. Diese Seitenmitten sind gleichzeitig Höhen in den betreffenden gleichseitigen Dreiecken und haben daher die Länge h = a/2*sqrt(3). Die Schnittebene schneidet aus der Oberfläche des Ikosaeders also ein Sechseck aus, dessen Ecken neben vier Ikosaederecken noch zwei Mittelpunkte M1 und M2 von Ikosaederkanten sind. Diese sechs Punkte seien in naheliegender Weise in der folgenden Reihenfolge bezeichnet: M1, E1, E2, M2, E3, E4.

Schließlich seien noch M3 der Mittelpunkt der Kante E1E2, und M4 der Mittelpunkt der Kante E3E4 sowie N der Punkt auf der Höhe M1E1, der diese im Verhältnis M1N : NE1 = 1 : 2 teilt. Er ist der Schwerpunkt des zugehörigen Dreiecks des Ikosaederdreiecks und damit Berührpunkt der einbeschriebenen Kugel.

In diesem Sechseck sind nun die Verbindungslinien der vier Kantenmittelpunkte M1, M2, M3 und M4 jeweils mit Z aus Symmetriegründen gleich lang, also speziell etwa M1Z = M3Z = x. Weiterhin gilt ZE1 = R, ZN = r und M3E1 = a/2. Schließlich hat man E1M1 = a/2*sqrt(3), E1N = a/3*sqrt(3) und NM1 = a/6*sqrt(3) nach bekannten Formeln für das gleichseitige Dreieck der Kantenlänge a.

In geeigneten rechtwinkligen Dreiecken ergeben sich nun durch Anwendung des Satzes des Pythagoras:

R2 = r2 + a2/3,

R2 = x2 + a2/4,

x2 + (x - a/2)2 = 3/4*a2,

wobei die letzte Formel aus demjenigen Dreieck abzulesen ist, das durch Ziehen der Parallele zu M3Z durch E1 entsteht. Aus dieser Formel ermittelt man

x = a/4*(1 + sqrt(5))

und somit

x2 = a2/8*(3 + sqrt(5)).

Durch Einsetzen in die zweite Formel erhält man

R = a/4*sqrt(10 + 2*sqrt(5))

und damit schließlich aus der ersten Formel

r = a/12*sqrt(3)*(3 + sqrt(5)).

Zur Bestimmung des Volumens V des Ikosaeders denkt man sich das Ikosaeder vom Zentrum Z aus in 20 gleiche Pyramiden zerlegt, deren Grundfläche gleich der Fläche des gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a ist, also G = a2/4*sqrt(3) und deren Höhe der Radius r der einbeschriebenen Kugel ist. Also gilt

V = 20*(1/3)*r*G = 5/12*(3 + sqrt(5))*a3.

Die Oberfläche des Ikosaeders besteht aus 20 gleichseitigen Dreiecken der Seitenlänge a, also

O = 20*G = 5*sqrt(3)*a2.