Uniforme Polyeder

Definition: Ein geometrischer Körper heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten, die zu ihm gehören, auch die Strecke zwischen diesen Punkten vollständig zu diesem Körper gehört.

Hierdurch werden alle Körper ausgeschlossen, die "Löcher" oder "Dellen" enthalten.

Definition: Ein Polyeder (Vielflächner) ist ein geometrischer Körper, dessen Oberfläche aus ebenen Vielecken besteht.

Hierdurch werden alle Körper ausgeschlossen, die gekrümmte Kanten oder Oberflächen enthalten, insbesondere also Kugeln, Kegel und Zylinder.

Für konvexe Polyeder gilt der Eulersche Polyedersatz ( Leonhard Euler):

Satz: Bezeichnet f die Anzahl der Flächen, k die Anzahl der Kanten und e die Anzahl der Ecken eines konvexen Polyeders, so gilt

e - k + f = 2.

Bezeichnet man als Winkeldefekt einer Ecke eines konvexen Polyeders die Differenz zwischen dem Vollkreis, also 360o, und der Summe aller Winkel in den Ecken derjenigen Flächen, die in dieser Polyederecke zusammenstoßen, so gilt außerdem die Descartesche Formel ( Rene Descartes):

Satz: Die Summe über die Winkeldefekte sämtlicher Ecken eines konvexen Polyeders ist

S = 360o*(e - k + f).

Kombiniert man beide Resultate, so gilt für die Summe S der Winkeldefekte eines beliebigen konvexen Polyeders also stets

S = 720o.

Diese Beziehung kann man ausnutzen, um sämtliche möglichen regulären oder halbregulären Polyeder zu bestimmen.

Die Johnsonschen Körper

Hierunter versteht man konvexe Polyeder, deren Oberflächen nur aus regelmäßigen Vielecken (beliebiger Eckenzahl) bestehen, die aber keine Platonischen oder Archimedischen Körper sind und keine Prismen oder Antiprismen. Norman Johnson gab 1966 die folgende Liste derartiger Polyeder an und Zallager bewies 1969 die Vollständigkeit dieser Liste.

NummerName(n)Originalname nach Johnson
J1quadratische Pyramidesquare pyramid
J2fünfeckige Pyramide
pentagonale Pyramide
pentagonal pyramid
J3Dreieckskuppeltriangular cupola
J4Quadratkuppelsquare cupola
J5Fünfeckskuppelpentagonal cupola
J6(Fünfecks)Rotundepentagonal rotunda
J7verlängerte dreieckige Pyramide
erweitertes dreiseitiges Prisma
elongated triangular pyramid
J8verlängerte quadratische Pyramide
erweitertes quadratisches Prisma
elongated square pyramid
J9verlängerte fünfeckige Pyramide
erweitertes fünfseitiges Prisma
elongated pentagonal pyramid
J10verdreht-verlängerte quadratische Pyramide
erweitertes quadratisches Antiprisma
gyroelongated square pyramid
J11verdreht-verlängerte fünfeckige Pyramide
erweitertes fünfseitiges Antiprisma
gekapptes Ikosaeder
gyroelongated pentagonal pyramid
J12dreieckige Dipyramide
trigonale Dipyramide
triangular dipyramid
J13fünfeckige Dipyramide
pentagonale Dipyramide
pentagonal dipyramid
J14verlängerte dreieckige Dipyramideelongated triangular dipyramid
J15verlängerte quadratische Dipyramide
zweifach erweitertes quadratisches Prisma
elongated square dipyramid
J16verlängerte fünfeckige Dipyramideelongated pentagonal dipyramid
J17verdreht-verlängerte quadratische Dipyramidegyroelongated square dipyramid
J18verlängerte Dreieckskuppelelongated triangular cupola
J19verlängerte Quadratkuppel
beschnittenes kleines Rhombenkuboktaeder
elongated square cupola
J20verlängerte Fünfeckskuppelelongated pentagonal cupola
J21verlängerte Rotundeelongated pentagonal rotunda
J22verdreht-verlängerte Dreieckskuppelgyroelongated triangular cupola
J23verdreht-verlängerte Quadratkuppelgyroelongated square cupola
J24verdreht-verlängerte Fünfeckskuppelgyroelongated pentagonal cupola
J25verdreht-verlängerte Rotundegyroelongated pentagonal rotunda
J26Doppelkeilgyrobifastigium
J27dreiseitige Doppelkuppel
verdrehtes Kuboktaeder
triangular orthobicupola
J28quadratische Doppelkuppelsquare orthobicupola
J29verdrehte quadratische Doppelkuppelsquare gyrobicupola
J30fünfseitige Doppelkuppelpentagonal orthobicupola
J31verdrehte fünfseitige Doppelkuppelpentagonal gyrobicupola
J32Kuppelrotundepentagonal orthocupolarotunda
J33verdrehte Kuppelrotundepentagonal gyrocupolarotunda
J34Doppelrotunde
verdrehtes Ikosidodekaeder
pentagonal orthobirotunda
J35verlängerte dreiseitige Doppelkuppelelongated triangular orthobicupola
J36verlängerte verdrehte dreiseitige Doppelkuppelelongated triangular gyrobicupola
J37verlängerte verdrehte quadratische Doppelkuppelelongated square gyrobicupola
J38verlängerte fünfseitige Doppelkuppelelongated pentagonal orthobicupola
J39verlängerte verdrehte fünfseitige Doppelkuppelelongated pentagonal gyrobicupola
J40verlängerte Kuppelrotundeelongated pentagonal orthocupolarotunda
J41verlängerte verdrehte Kuppelrotundeelongated pentagonal gyrocupolarotunda
J42verlängerte Doppelrotundeelongated pentagonal orthobirotunda
J43verlängerte verdrehte Doppelrotundeelongated pentagonal gyrobirotunda
J44verdreht-verlängerte dreiseitige Doppelkuppelgyroelongated triangular bicupola
J45verdreht-verlängerte quadratische Doppelkuppelgyroelongated square bicupola
J46verdreht-verlängerte fünfseitige Doppelkuppelgyroelongated pentagonal bicupola
J47verdreht-verlängerte Kuppelrotundegyroelongated pentagonal cupolarotunda
J48verdreht-verlängerte Doppelrotundegyroelongated pentagonal birotunda
J49erweitertes dreiseitiges Prismaaugmented triangular prism
J50zweifach erweitertes dreiseitiges Prismabiaugmented triangular prism
J51dreifach erweitertes dreiseitiges Prisma
tripyramidales trigonales Prisma
triaugmented triangular prism
J52erweitertes fünfseitiges Prismaaugmented pentagonal prism
J53zweifach erweitertes fünfseitiges Prismabiaugmented pentagonal prism
J54erweitertes sechsseitiges Prismaaugmented hexagonal prism
J55zweifach para-erweitertes sechsseitiges Prismaparabiaugmented hexagonal prism
J56zweifach meta-erweitertes sechsseitiges Prismametabiaugmented hexagonal prism
J57dreifach erweitertes sechsseitiges Prismatriaugmented hexagonal prism
J58erweitertes Dodekaederaugmented dodecahedron
J59zweifach para-erweitertes Dodekaederparabiaugmented dodecahedron
J60zweifach meta-erweitertes Dodekaedermetabiaugmented dodecahedron
J61dreifach erweitertes Dodekaedertriaugmented dodecahedron
J62zweifach meta-gekapptes Ikosaedermetabidiminished icosahedron
J63dreifach gekapptes Ikosaedertridiminished icosahedron
J64erweitertes dreifach gekapptes Ikosaederaugmented tridiminished icosahedron
J65erweitertes abgestumpfter Tetraederaugmented truncated tetrahedron
J66erweiterter abgestumpfter Würfelaugmented truncated cube
J67zweifach erweiterter abgestumpfter Würfelbiaugmented truncated cube
J68erweitertes abgestumpftes Dodekaederaugmented truncated dodecahedron
J69zweifach para-erweitertes abgestumpftes Dodekaederparabiaugmented truncated dodecahedron
J70zweifach meta-erweitertes abgestumpftes Dodekaedermetabiaugmented truncated dodecahedron
J71dreifach erweitertes abgestumpftes Dodekaedertriaugmented truncated dodecahedron
J72verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaedergyrate rhombicosidodecahedron
J73zweifach para-verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaederparabigyrate rhombicosidodecahedron
J74zweifach meta-verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaedermetabigyrate rhombicosidodecahedron
J75dreifach verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaedertrigyrate rhombicosidodecahedron
J76gekapptes kleines Rhombenikosidodekaederdiminished rhombicosidodecahedron
J77para-verdrehtes gekapptes kleines Rhombenikosidodekaederparagyrate diminished rhombicosidodecahedron
J78meta-verdrehtes gekapptes kleines Rhombenikosidodekaedermetagyrate diminished rhombicosidodecahedron
J79zweifach verdrehtes gekapptes kleines Rhombenikosidodekaederbigyrate diminished rhombicosidodecahedron
J80zweifach para-gekapptes kleines Rhombenikosidodekaederparabidiminished rhombicosidodecahedron
J81zweifach meta-gekapptes kleines Rhombenikosidodekaedermetabidiminished rhombicosidodecahedron
J82verdrehtes zweifach gekapptes kleines Rhombenikosidodekaedergyrate bidiminished rhombicosidodecahedron
J83dreifach gekapptes kleines Rhombenikosidodekaedertridiminished rhombicosidodecahedron
J84schräges Disphenoid
Trigondodekaeder
snub disphenoid
J85schräges quadratisches Antiprismasnub square antiprism
J86Sphenocoronasphenocorona
J87erweiterte Sphenocoronaaugmented sphenocorona
J88Sphenomegacoronasphenomegacorona
J89Hebesphenomegacoronahebesphenomegacorona
J90Disphenocingulumdisphenocingulum
J91Bilunadoppelrotundebilunabirotunda
J92Hebesphenorotundetriangular hebesphenorotunda

Nichtkonvexe reguläre Polyeder

Die Kepler-Poinsotschen Sternpolyeder

Hierbei handelt es sich um die nichtkonvexen regulären Körper. Die ersten beiden wurden 1619 erstmals von Johannes Kepler beschrieben (wobei das erste bereits im 15. Jahr. auf einem Mosaik von Uccello auftaucht), die anderen beiden 1809 von Louis Poinsot. Jedoch findet sich bereits 1568 in dem Büch Perspectivia Corporum Regularium von Wenzel Jamnitzer eine Abbildung des Großen Dodekaeders.

Kleines gesterntes Dodekaeder (Sterneckiges Dodekaeder)

Großes gesterntes Dodekaeder (Sterneckiges Ikosaeder)

Großes Dodekaeder (Zwölfflächiges Sterndodekaeder)

Großes Ikosaeder (Zwanzigeckiges Sterndodekaeder)

Quasireguläre Polyeder

Definition: Ein (nicht notwendig konvexes) Polyeder heißt quasiregulär, wenn alle seine Oberflächen aus zwei Arten von regelmäßigen Vielecken bestehen, m-eckigen und n-eckigen, so daß jedes m-eckige Vieleck von n-seitigen umgeben ist und umgekehrt.

Es gibt folgende quasi-regulären Polyeder, von denen nur die ersten drei konvex sind.

Oktaeder (3,3,3,3)
Kuboktaeder (3,4,3,4)
Ikosidodekaeder (3,5,3,5)

Großes Ikosidodekaeder (3,5/2,3,5/2)

Großes Dodekadodekaeder (5,5/2,5,5/2)

Kleines ditrigonales Ikosidodekaeder (5/2,3,5/2,3,5/2,3)

Ditrigonales Dodekadodekaeder (5/3,5,5/3,5,5/3,5)

Großes ditrigonales Ikosidodekaeder (3,5,3,5,3,5)