Uniforme Polyeder

Definition: Ein geometrischer Körper heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten, die zu ihm gehören, auch die Strecke zwischen diesen Punkten vollständig zu diesem Körper gehört.

Hierdurch werden alle Körper ausgeschlossen, die "Löcher" oder "Dellen" enthalten.

Definition: Ein Polyeder (Vielflächner) ist ein geometrischer Körper, dessen Oberfläche aus ebenen Vielecken besteht.

Hierdurch werden alle Körper ausgeschlossen, die gekrümmte Kanten oder Oberflächen enthalten, insbesondere also Kugeln, Kegel und Zylinder.

Für konvexe Polyeder gilt der Eulersche Polyedersatz ( Leonhard Euler):

Satz: Bezeichnet $f$ die Anzahl der Flächen, $k$ die Anzahl der Kanten und $e$ die Anzahl der Ecken eines konvexen Polyeders, so gilt

$e\; -\; k\; +\; f\; =\; 2.$

Bezeichnet man als Winkeldefekt einer Ecke eines konvexen Polyeders die Differenz zwischen dem Vollkreis, also $360o$, und der Summe aller Winkel in den Ecken derjenigen Flächen, die in dieser Polyederecke zusammenstoßen, so gilt außerdem die Descartesche Formel ( Rene Descartes):

Satz: Die Summe über die Winkeldefekte sämtlicher Ecken eines konvexen Polyeders ist

Kombiniert man beide Resultate, so gilt für die Summe S der Winkeldefekte eines beliebigen konvexen Polyeders also stets

Die Johnsonschen Körper

Hierunter versteht man konvexe Polyeder, deren Oberflächen nur aus regelmäßigen Vielecken (beliebiger Eckenzahl) bestehen, die aber keine Platonischen oder Archimedischen Körper sind und keine Prismen oder Antiprismen. Norman Johnson gab 1966 die folgende Liste derartiger Polyeder an und Zallager bewies 1969 die Vollständigkeit dieser Liste.

Nummer	Name(n)	Originalname nach Johnson
J1	quadratische Pyramide	square pyramid
J2	fünfeckige Pyramide pentagonale Pyramide	pentagonal pyramid
J3	Dreieckskuppel	triangular cupola
J4	Quadratkuppel	square cupola
J5	Fünfeckskuppel	pentagonal cupola
J6	(Fünfecks)Rotunde	pentagonal rotunda
J7	verlängerte dreieckige Pyramide erweitertes dreiseitiges Prisma	elongated triangular pyramid
J8	verlängerte quadratische Pyramide erweitertes quadratisches Prisma	elongated square pyramid
J9	verlängerte fünfeckige Pyramide erweitertes fünfseitiges Prisma	elongated pentagonal pyramid
J10	verdreht-verlängerte quadratische Pyramide erweitertes quadratisches Antiprisma	gyroelongated square pyramid
J11	verdreht-verlängerte fünfeckige Pyramide erweitertes fünfseitiges Antiprisma gekapptes Ikosaeder	gyroelongated pentagonal pyramid
J12	dreieckige Dipyramide trigonale Dipyramide	triangular dipyramid
J13	fünfeckige Dipyramide pentagonale Dipyramide	pentagonal dipyramid
J14	verlängerte dreieckige Dipyramide	elongated triangular dipyramid
J15	verlängerte quadratische Dipyramide zweifach erweitertes quadratisches Prisma	elongated square dipyramid
J16	verlängerte fünfeckige Dipyramide	elongated pentagonal dipyramid
J17	verdreht-verlängerte quadratische Dipyramide	gyroelongated square dipyramid
J18	verlängerte Dreieckskuppel	elongated triangular cupola
J19	verlängerte Quadratkuppel beschnittenes kleines Rhombenkuboktaeder	elongated square cupola
J20	verlängerte Fünfeckskuppel	elongated pentagonal cupola
J21	verlängerte Rotunde	elongated pentagonal rotunda
J22	verdreht-verlängerte Dreieckskuppel	gyroelongated triangular cupola
J23	verdreht-verlängerte Quadratkuppel	gyroelongated square cupola
J24	verdreht-verlängerte Fünfeckskuppel	gyroelongated pentagonal cupola
J25	verdreht-verlängerte Rotunde	gyroelongated pentagonal rotunda
J26	Doppelkeil	gyrobifastigium
J27	dreiseitige Doppelkuppel verdrehtes Kuboktaeder	triangular orthobicupola
J28	quadratische Doppelkuppel	square orthobicupola
J29	verdrehte quadratische Doppelkuppel	square gyrobicupola
J30	fünfseitige Doppelkuppel	pentagonal orthobicupola
J31	verdrehte fünfseitige Doppelkuppel	pentagonal gyrobicupola
J32	Kuppelrotunde	pentagonal orthocupolarotunda
J33	verdrehte Kuppelrotunde	pentagonal gyrocupolarotunda
J34	Doppelrotunde verdrehtes Ikosidodekaeder	pentagonal orthobirotunda
J35	verlängerte dreiseitige Doppelkuppel	elongated triangular orthobicupola
J36	verlängerte verdrehte dreiseitige Doppelkuppel	elongated triangular gyrobicupola
J37	verlängerte verdrehte quadratische Doppelkuppel	elongated square gyrobicupola
J38	verlängerte fünfseitige Doppelkuppel	elongated pentagonal orthobicupola
J39	verlängerte verdrehte fünfseitige Doppelkuppel	elongated pentagonal gyrobicupola
J40	verlängerte Kuppelrotunde	elongated pentagonal orthocupolarotunda
J41	verlängerte verdrehte Kuppelrotunde	elongated pentagonal gyrocupolarotunda
J42	verlängerte Doppelrotunde	elongated pentagonal orthobirotunda
J43	verlängerte verdrehte Doppelrotunde	elongated pentagonal gyrobirotunda
J44	verdreht-verlängerte dreiseitige Doppelkuppel	gyroelongated triangular bicupola
J45	verdreht-verlängerte quadratische Doppelkuppel	gyroelongated square bicupola
J46	verdreht-verlängerte fünfseitige Doppelkuppel	gyroelongated pentagonal bicupola
J47	verdreht-verlängerte Kuppelrotunde	gyroelongated pentagonal cupolarotunda
J48	verdreht-verlängerte Doppelrotunde	gyroelongated pentagonal birotunda
J49	erweitertes dreiseitiges Prisma	augmented triangular prism
J50	zweifach erweitertes dreiseitiges Prisma	biaugmented triangular prism
J51	dreifach erweitertes dreiseitiges Prisma tripyramidales trigonales Prisma	triaugmented triangular prism
J52	erweitertes fünfseitiges Prisma	augmented pentagonal prism
J53	zweifach erweitertes fünfseitiges Prisma	biaugmented pentagonal prism
J54	erweitertes sechsseitiges Prisma	augmented hexagonal prism
J55	zweifach para-erweitertes sechsseitiges Prisma	parabiaugmented hexagonal prism
J56	zweifach meta-erweitertes sechsseitiges Prisma	metabiaugmented hexagonal prism
J57	dreifach erweitertes sechsseitiges Prisma	triaugmented hexagonal prism
J58	erweitertes Dodekaeder	augmented dodecahedron
J59	zweifach para-erweitertes Dodekaeder	parabiaugmented dodecahedron
J60	zweifach meta-erweitertes Dodekaeder	metabiaugmented dodecahedron
J61	dreifach erweitertes Dodekaeder	triaugmented dodecahedron
J62	zweifach meta-gekapptes Ikosaeder	metabidiminished icosahedron
J63	dreifach gekapptes Ikosaeder	tridiminished icosahedron
J64	erweitertes dreifach gekapptes Ikosaeder	augmented tridiminished icosahedron
J65	erweitertes abgestumpfter Tetraeder	augmented truncated tetrahedron
J66	erweiterter abgestumpfter Würfel	augmented truncated cube
J67	zweifach erweiterter abgestumpfter Würfel	biaugmented truncated cube
J68	erweitertes abgestumpftes Dodekaeder	augmented truncated dodecahedron
J69	zweifach para-erweitertes abgestumpftes Dodekaeder	parabiaugmented truncated dodecahedron
J70	zweifach meta-erweitertes abgestumpftes Dodekaeder	metabiaugmented truncated dodecahedron
J71	dreifach erweitertes abgestumpftes Dodekaeder	triaugmented truncated dodecahedron
J72	verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder	gyrate rhombicosidodecahedron
J73	zweifach para-verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder	parabigyrate rhombicosidodecahedron
J74	zweifach meta-verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder	metabigyrate rhombicosidodecahedron
J75	dreifach verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder	trigyrate rhombicosidodecahedron
J76	gekapptes kleines Rhombenikosidodekaeder	diminished rhombicosidodecahedron
J77	para-verdrehtes gekapptes kleines Rhombenikosidodekaeder	paragyrate diminished rhombicosidodecahedron
J78	meta-verdrehtes gekapptes kleines Rhombenikosidodekaeder	metagyrate diminished rhombicosidodecahedron
J79	zweifach verdrehtes gekapptes kleines Rhombenikosidodekaeder	bigyrate diminished rhombicosidodecahedron
J80	zweifach para-gekapptes kleines Rhombenikosidodekaeder	parabidiminished rhombicosidodecahedron
J81	zweifach meta-gekapptes kleines Rhombenikosidodekaeder	metabidiminished rhombicosidodecahedron
J82	verdrehtes zweifach gekapptes kleines Rhombenikosidodekaeder	gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron
J83	dreifach gekapptes kleines Rhombenikosidodekaeder	tridiminished rhombicosidodecahedron
J84	schräges Disphenoid Trigondodekaeder	snub disphenoid
J85	schräges quadratisches Antiprisma	snub square antiprism
J86	Sphenocorona	sphenocorona
J87	erweiterte Sphenocorona	augmented sphenocorona
J88	Sphenomegacorona	sphenomegacorona
J89	Hebesphenomegacorona	hebesphenomegacorona
J90	Disphenocingulum	disphenocingulum
J91	Bilunadoppelrotunde	bilunabirotunda
J92	Hebesphenorotunde	triangular hebesphenorotunda

Nichtkonvexe reguläre Polyeder

Die Kepler-Poinsotschen Sternpolyeder

Hierbei handelt es sich um die nichtkonvexen regulären Körper. Die ersten beiden wurden 1619 erstmals von Johannes Kepler beschrieben (wobei das erste bereits im 15. Jahr. auf einem Mosaik von Uccello auftaucht), die anderen beiden 1809 von Louis Poinsot. Jedoch findet sich bereits 1568 in dem Büch Perspectivia Corporum Regularium von Wenzel Jamnitzer eine Abbildung des Großen Dodekaeders.

Kleines gesterntes Dodekaeder (Sterneckiges Dodekaeder)

Großes gesterntes Dodekaeder (Sterneckiges Ikosaeder)

Großes Dodekaeder (Zwölfflächiges Sterndodekaeder)

Großes Ikosaeder (Zwanzigeckiges Sterndodekaeder)

Quasireguläre Polyeder

Definition: Ein (nicht notwendig konvexes) Polyeder heißt quasiregulär, wenn alle seine Oberflächen aus zwei Arten von regelmäßigen Vielecken bestehen, m-eckigen und n-eckigen, so daß jedes m-eckige Vieleck von n-seitigen umgeben ist und umgekehrt.

Es gibt folgende quasi-regulären Polyeder, von denen nur die ersten drei konvex sind.

Großes Ikosidodekaeder (3,5/2,3,5/2)

Großes Dodekadodekaeder (5,5/2,5,5/2)

Kleines ditrigonales Ikosidodekaeder (5/2,3,5/2,3,5/2,3)

Ditrigonales Dodekadodekaeder (5/3,5,5/3,5,5/3,5)

Großes ditrigonales Ikosidodekaeder (3,5,3,5,3,5)