Konvexe Polyeder


Definition: Ein geometrischer Körper heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten, die zu ihm gehören, auch die Strecke zwischen diesen Punkten vollständig zu diesem Körper gehört.

Hierdurch werden alle Körper ausgeschlossen, die "Löcher" oder "Dellen" enthalten.

Definition: Ein Polyeder (Vielflächner) ist ein geometrischer Körper, dessen Oberfläche aus ebenen Vielecken besteht.

Hierdurch werden alle Körper ausgeschlossen, die gekrümmte Kanten oder Oberflächen enthalten, insbesondere also Kugeln, Kegel und Zylinder.

Für konvexe Polyeder gilt der Eulersche Polyedersatz ( Leonhard Euler):

Satz: Bezeichnet f die Anzahl der Flächen, k die Anzahl der Kanten und e die Anzahl der Ecken eines konvexen Polyeders, so gilt

e - k + f = 2.

Aus diesem Satz lassen sich nützliche Folgerungen ziehen, die sich bei der Beschreibung von konvexen Polyedern mit gewissen Eigenschaften anwenden lassen.

Bezeichnet man als Winkeldefekt einer Ecke eines konvexen Polyeders die Differenz zwischen dem Vollkreis, also 360o, und der Summe aller Winkel in den Ecken derjenigen Flächen, die in dieser Polyederecke zusammenstoßen, so gilt außerdem die Descartesche Formel ( Rene Descartes):

Satz: Die Summe über die Winkeldefekte sämtlicher Ecken eines konvexen Polyeders ist

S = 360o*(e - k + f).

Kombiniert man beide Resultate, so gilt für die Summe S der Winkeldefekte eines beliebigen konvexen Polyeders also stets

S = 720o.

Unter den konvexen Polyedern befinden sich insbesondere:

die regulären Polyeder,

die halbregulären Polyeder,

die quasiregulären Polyeder,

die Deltaeder.

Die Deltaeder gehören schon zur Klasse der 92 Johnson-Körper. Dies sind alle nicht regulären und nicht halbregulären konvexen Polyeder, die sich aus regelmäßigen Vielecken bilden lassen.

Weitere wichtige Teilklassen konvexer Polyeder, die aus weniger regelmäßigen Vielecken gebildet werden, sind

die Rhombenkörper,

die Zonoeder,

die Paralleloeder.


Es gibt noch weitere, nichtkonvexe reguläre Polyeder, die Kepler-Poinsotschen Sternkörper.


Weiterführende Literatur

  • Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge, 1997. ISBN 0-521-55432-2
  • Tiberiu Roman, Reguläre und halbreguläre Polyeder, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1987. ISBN 3-326-00192-4
  • Paul Adam, Arnold Wyss, Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde, Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart, 1994. ISBN 3-7725-0965-7
  • Magnus J. Wenninger, Polyhedron Models, Cambridge University Press, Cambridge, 1989. ISBN 0-521-09859-9
  • Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, Cambridge, 1983. ISBN 0-521-24524-9
  • Alan Holden, Shapes, Space and Symmetry, Dover Publ., New York, 1991. ISBN 0-486-26851-9