Lituus

Roger Cotes gab der hyperbolischen Spirale zweiter Ordnung, das heißt der Inversen der fermatschen Spirale, wegen ihrer Ähnlichkeit mit einem bischöflichen Krummstab den Namen "Lituus".
Wie auch bei den hyperbolischen Spiralen erster Ordnung gilt für den Lituus: Wählt man in Polarkoordinaten Gleichungen, bei denen zwischen Radius und Polarwinkel (oder einer Potenz des Polarwinkels) eine entgegengesetzte Proportionalität besteht, so erhält man ebenfalls Spiralen. Wegen der Ähnlichkeit zu Hyperbeln im kartesischen Koordinatensystem spricht man von hyperbolischen Spiralen. Nähert sich die Größe des Winkels phi dem Wert 0, so zeigen hyperbolische Spiralen ein asymptotisches Verhalten und können Wendepunkte besitzen. Strebt phi gegen unendlich, so wird das Zentrum in immer enger werdenden Windungen umrundet, jedoch nie erreicht.


Gleichung: r2 = a2/phi ; (a ungleich 0)
Definitionsbereich: phi >= 0
Tangentenwinkel: gamma = -arctan(2*phi)
Flächenelement: dA = (a2/2)*phi-1 dphi
Bogenelement: ds = sqrt(1 + (a/r)4)dr
Krümmungsradius: rho = (r2 + r6)/(4*a4)3/2/(r2 - r6)/(4*a4))