Logarithmische Spirale

Diese Spiralart wir in Polarkoordinaten durch Gleichungen der Form r=r0*ea (mit positiven reellen Zahlen r0 und a) beschrieben. Bei ihr wächst der Radius exponentiell mit dem Polarwinkel. Umgekehrt hängt der Polarwinkel logarithmisch vom Radius ab und man spricht daher von einer logarithmischen Spirale. Der Faktor r0 ist der Radius eines Anfangspunktes auf der Polarachse. Durch eine geeignete Änderung des Maßstabs kann man immer r0 = 1 erreichen. Von diesem Punkt laufen die Windungen über positive und negative Polarwinkel nach außen und innen. Der Windungsabstand nimmt dabei mit wachsender Entfernung zum Zentrum zu.


Gleichung: r = e^(a) ; (a > 0)
Definitionsbereich: IR
Tangentenwinkel = arctan(1/a)
Flächenelement: dA = 1/2*e^(a) d
Bogenelement: ds = sqrt ( 1 + 1/a² ) dr
Krümmungsradius: = r * sqrt ( 1 + a² )

Erste Beschreibung bei Dürer

Definition

Erste mathematische Definition durch Descartes, punktweise Konstruktion durch Torricelli

Fläche

Bestimmung durch Torricelli

Bogenlänge

Bestimmung durch Torricelli

Anwendungsbeispiele für logarithmische Spiralen:






Logarithmische Spirale beim Nautilus


Nautilus

Eine wunderbare logarithmische Spirale kann man bei einem lebenden Fossil, dem Nautilus finden. Hier wird auch deutlich, daß logarithmische Spiralen bei biologischen Wachstumsprozessen eine überaus wichtige Rolle spielen.

Das Perlboot, Nautilus pompilius, ist - zusammen mit seinen nächsten Verwandten wie Nautilus macromphalus oder Allonautilus scrobiculatus - der l etzte Vertreter der Kopffüßer (Cephalopoden, "Tintenfische"), die eine Außenschale besitzen. Bei dieser Gruppe befindet sich der Weichkörper im vorderen Teil des Gehäuses (Wohnkammer). Der hintere, durch Wände (Septen) unterteilte und z. T. mit Flüssigkeit, meist aber mit Gas gefüllte Bereich (Phragmokon), dient dem Auftrieb.

Die heutigen Vertreter der Nautiliden leben in Wassertiefen bis zu 600 m, meist um 400 m, nur selten beobachtet man sie nahe der Wasseroberfläche. Soweit man dies in Erfahrung bringen konnte, halten sich die Tiere am Boden oder in Bodennähe auf. Ihr Verbreitungsgebiet sind die tropischen Meere außerhalb der Korallenriffe, die die Inseln des westlichen Pazifiks umgeben.




Spiralige Problemlösungen in der Natur: Phyllotaxis


Sonnenblume

Die Betrachtung der Kerne im Fruchtstand der Sonnenblume zeigt, daß sich hinter den auf den ersten Blick zufällig erscheinenden Anordnungen tiefere mathematische Gesetzmäßigkeiten stehen können.
Die Kernanordnungen bei der Sonnenblume sind ein Beispiel für ein Phänomen, welches in der Botanik mit dem Begriff "Phyllotaxis" (=Blattabstand) bezeichnet wird.

Die meisten Pflanzen bilden in regelmäßigen Abständen neue Blätter. Die Eigenschaften und Gesetzmäßigkeiten der Blattstellung zu untersuchen, ist ein eigenes Wissenschaftsgebiet. Eine der wichtigsten Beobachtungen ist, dass zeitlich aufeinanderfolgende Blätter mit sehr geringen Abweichungen stets den gleichen, für die jeweilige Pflanze charakteristischen Winkel einschließen.

Dem liegt die Tatsache zugrunde, dass Wachstumsprozesse von Pflanzen in der Regel einer logarithmischen Spirale folgen. Deutlich wird dies zum Beispiel bei gewissen Bäumen wie Ulme, Linde, Buche oder Haselnuss, aber auch bei Annanas und Tannzapfen kommt eine spiralige Anorgnung zur Geltung.