Oktagon


Definition: Unter einem Oktagon versteht man ein regelmäßiges Achteck, also ein ebenes konvexes Vieleck mit acht Ecken, gleichlangen Kanten und gleichen Winkeln.

Verbindet man je zwei Ecken des Achtecks, zwischen denen genau zwei andere liegen, durch eine Diagonale miteinander, so zerfällt es in ein Quadrat, vier Rechtecke und vier gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke. Die Hypotenusen dieser Dreiecke sind jeweils Kanten des Oktagons, haben also alle dieselbe Länge a. Also haben ihre Katheten die Länge sqrt(2)/2*a. Dies ist dann auch die Länge der einen Seite der Rechtecke, während die andere Seite natürlich die Länge a hat. Die vier Dreiecke lassen sich zu einem Quadrat der Kantenlänge a zusammensetzen.

Damit ergibt sich der Flächeninhalt des Oktagons zu

A = 2*a*a + 4*sqrt(2)/2*a*a = 2*(1 + sqrt(2))*a*a.

Für den Inkreisradius r liest man unmittelbar ab

r = a/2 + sqrt(2)/2*a = (1 + sqrt(2))/2*a.

Damit ergibt sich für den Umkreisradius R mit dem Satz des Pythagoras

R*R = a*a/4 + r*r = a*a/4 + a*a/4 + sqrt(2)/2*a*a + a*a/2 = (1+sqrt(2)/2)*a*a

und daher

R = sqrt(1+sqrt(2)/2)*a.