Pentagon

Die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks seien fortlaufend mit E1 bis E5 bezeichnet. Weiterhin sei M der Mittelpunkt der Seite E1 E5 und Z der Mittelpunkt des Fünfecks. Zur Bestimmung der Höhe h = ME3 und der Diagonalen d = E1E3, verlängere man die beiden Seiten E5E1 und E3E2 jeweils bis zu ihrem gemeinsamen Schnittpunt S. Schließlich bezeichne R den Höhenabschnitt ZE3, also den Radius des Umkreises, und daher r = h - R den Höhenabschnitt ZM, also den Radius des Inkreises.

Durch Betrachten der Winkel bei S, E1 und E3 erkennt man, daß das Dreieck SE1E3 ein gleichschenkliges ist und die Seiten E1E3 = d und E1S gleich lang sind. Aus Symmetriegründen ist aber auch das Dreieck E1SE2 gleichschenklig und daher gilt ebenfalls E2S = d.

Wendet man nun den Satz des Pythagoras auf geeignete Dreiecke an, so erhält man:

(d+a)2 = h2 + (d + a/2)2,

d2 = h2 + (a/2)2.

Hieraus ergibt sich zunächst

d = a/2*(1 + sqrt(5))

und daraus wiederum

h = a/2*sqrt(5 + 2*sqrt(5)).

Zur Bestimmung von R und r=h-R beachte man noch die für jedes regelmäßige n-Eck gültige Beziehung

R2 = r2 + (a/2)2.

Man erhält damit

R = a/10*sqrt(50 + 10*sqrt(5))

und

r = a/10*sqrt(25 + 10*sqrt(5)).

Der Flächeninhalt des regelmäßigen n-Ecks setzt sich zusammen aus n Dreiecken der Grundseite a und der Höhe r, also für n=5 speziell

F = 5*(1/2)*r*a = 1/4*sqrt(25 + 10*sqrt(5))*a2.