Perspektivische Darstellung

In dem mathematischen Teilgebiet der Darstellenden Geometrie wird u. a. untersucht, welche Eigenschaften die perspektivischen Abbildungsmethoden haben, mit denen dreidimensionale Objekte auf eine zweidimensionale Bild- oder Tafelebene E möglichst naturgetreu abgebildet werden. Im wesentlichen unterscheidet man zwischen zwei Methoden.

Bei der zentralperspektivischen Projektion werden die einzelnen Punkte P des abzubildenden Objektes jeweils durch eine Gerade mit einem festen Punkt O, dem Projektionszentrum, verbunden. Dieses Projektionszentrum kann dabei außerhalb von E beliebig gewählt werden. Man erhält dann den Bildpunkt P' zum Originalpunkt P als Schnittpunkt der Geraden OP mit E. Hierbei ist es vollkommen gleichgültig, ob sich P von O aus betrachtet "vor", "hinter" oder "in" der Bildebene E befindet, ja P darf sogar von E aus betrachtet "hinter" O liegen. (Dies ist übrigens bei fotografischen Abbildungen, die auch nach dieser Methode erzeugt werden, stets der Fall!) Nur Punkte P im Raum, für welche die Verbindungsgerade OP parallel zu E verläuft, und O selber können bei dieser Methode prinzipiell nicht abgebildet werden.

Bei der Parallelprojektion wird eine Gerade g, die nicht parallel zu E verläuft, als Projektionsachse vorgegeben. Den Bildpunkt P' eines Originalpunktes P erhält man bei dieser Abbildungsmethode dadurch, daß man die durch P gehende Parallele zu g mit E schneidet. Man sieht also, daß von der Geraden g nur die Richtung und nicht ihre absolute Lage im Raum benötigt wird. Ist diese Richtung senkrecht zur Ebene E, so spricht man von senkrechter, andernfalls von schräger oder schiefer Parallelprojektion.

Läßt man bei der Zentralprojektion das Projektionszentrum O "ins Unendliche" wandern, so ergibt sich die Parallelprojektion als Grenzfall der Zentralprojektion, und vom mathematischen Standpunkt aus ist daher nur diese intensiv genug zu untersuchen, um auch die Parallelprojektion zu beherrschen.

Die Suche nach den korrekten Regeln für die zeichnerische Ausführung der Zentralprojektion hat seit dem ausgehenden Mittelalter zahlreiche Künstler und Mathematiker beschäftigt, von denen in der folgenden Tabelle einige wichtige Arbeiten genannt sind.

Weiterführende Literatur