Die Platonischen Körper


Definition: Ein Polyeder heißt regulär, wenn alle seine Oberflächen aus demselben regelmäßigen Vieleck bestehen und in jeder Ecke gleich viele dieser Vielecke zusammenstoßen.

Spätestens seit Platon ist bekannt, daß es nur genau fünf reguläre konvexe Polyeder gibt:

Tetraeder aus 4 (grch. tetra) Dreiecken
Hexaeder aus 6 (grch. hexa) Quadraten
Oktaeder aus 8 (grch. okta) Dreiecken
(Pentagon-)Dodekaeder aus 12 (grch. dodeka) Fünfecken (grch. pentagon)
Ikosaeder aus 20 (grch. eikosi) Dreiecken

Für die Winkel in den Ecken des regelmäßen n-Ecks gilt nämlich

n 3 4 5 6 ... n
Winkel 60 90 108 120 ... 180-360/n

In jeder Ecke eines Polyeders müssen mindestens drei Vielecke zusammenstoßen um eine räumliche Ecke zu bilden. Da andererseits das reguläre Polyeder konvex ist, muß die gesamte Winkelsumme aller n-Ecke, die in jeder Körperecke zusammenstoßen, stets echt kleiner als 360o sein. Es können also nur 3,4 oder 5 regelmäßge Dreiecke, 3 Quadrate oder 3 regelmäße Fünfecke sein. Diese fünf möglichen Fälle lassen sich aber durch die oben angegebenen Körper realisieren.

Das Hexaeder (Würfel) ist wohl in allen Hochkulturen des Altertums bekannt gewesen, das Dodekaeder soll Pythagoras entdeckt haben, dem auch das Tetraeder bekannt gewesen sein soll, allerdings noch unter dem Namen Pyramide. Die Bezeichnung Tetraeder hierfür stammt von Heron von Alexandria. Das Oktaeder und das Ikosaeder schließlich soll Theaitetos von Athen entdeckt haben. Im Buch XIII der Elemente des Euklid findet man bereits um 300 v. Chr. Konstruktionsbeschreibungen aller Platonischen Körper und den Nachweis, daß es nur diese regulären konvexen Polyeder gibt. Platon hat die später nach ihm benannten Körper in seine Philosophie eingebaut, indem er sie mit den vier Elementen Erde (Hexaeder), Wasser (Ikosaeder), Feuer (Tetraeder) und Luft (Oktaeder) in Verbindung brachte und das Dodekaeder mit einer geheimnisvollen quinta essentia, dem Himmelsäther.

Jeder Platonische Körper besitzt eine Innenkugel, auf der die Mittelpunkte sämtlicher Flächen des Körpers liegen, und eine Außenkugel, auf der sämtliche Körperecken liegen. Diese Eigenschaft nutzte Johannes Kepler 1596 in seinem Jugendwerk Mysterium Cosmographicum aus, um die Abstände der damals sechs bekannten Planeten des Sonnensystems zu erklären. Alle Planeten beschrieben danach Kreisbahnen auf Kugelschalen. Zwischen diese sechs Kugelschalen paßte Kepler die Platonischen Körper so ein, daß jeweils eine Kugel Innenkugel des Körpers und die folgende Kugel Außenkugel des Körpers war. Danach lag das Oktaeder zwischen Merkur und Venus, das Ikosaeder zwischen Venus und Erde, das Dodekaeder zwischen Erde und Mars, das Tetraeder zwischen Mars und Jupiter und der Würfel zwischen Jupiter und Saturn.



Das Dodekaeder war als Schmuckobjekt im römischen Imperium weit verbreitet, was durch zahlreiche Funde in ganz Europa belegt wird. Vielleicht liegt ja einer der vielen Fundorte in ihrer Nachbarschaft oder an ihrem nächsten Urlaubsort.


In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten geometrischen Größen für den jeweiligen Körper der Kantenlänge a zusammengestellt:

R Radius der Außenkugel,
r Radius der Innenkugel,
O Oberfläche,
V Volumen.

Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder
R/a 1/4*sqrt(6) 1/2*sqrt(3) 1/2*sqrt(2) 1/4*sqrt(3)*(1+sqrt(5)) 1/4*sqrt(10+2*sqrt(5))
r/a 1/12*sqrt(6) 1/2 1/6*sqrt(6) 1/20*sqrt(250+110*sqrt(5)) 1/12*sqrt(3)(3+sqrt(5))
O/a^2 sqrt(3) 6 2*sqrt(3) 3*sqrt(25+10*sqrt(5)) 5*sqrt(3)
V/a^3 1/12*sqrt(2) 1 1/3*sqrt(2) 1/4*(15+7*sqrt(5)) 5/12*(3+sqrt(5))

Näheres zur Berechnung der einzelnen Werte kann man in folgenden Dateien nachlesen

  • Tetraeder
  • Hexaeder
  • Oktaeder
  • Dodekaeder
  • Ikosaeder

    Einige Bemerkungen zu regulären Polytopen in höherdimensionalen Räumen findet man hier.


    Weiterführende Literatur

  • Tiberiu Roman, Reguläre und halbreguläre Polyeder, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1987. ISBN 3-326-00192-4
  • Paul Adam, Arnold Wyss, Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde, Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart, 1994. ISBN 3-7725-0965-7

    In den beiden genannten Büchern findet man natürlich auch Konstruktionsanleitungen und Beschreibungen der Netze der betrachteten Polyeder. Aus diesen kann man dann leicht Modelle basteln. Fertige Bausätze (aus Plastik), mit denen man nicht nur einige dieser Polyeder bauen kann, sondern auch farbige regelmäßige Parkettierungen der Ebene herstellen kann, erhält man u. a. über folgende Adressen:

    Renate und Stephan Kleitsch
    Postfach 2553
    D - 84009 Landshut
    (Hier heißen die Modelle JOVO-Bausteine nach ihrem Erfinder Josef Volgger.)

    Wiemann Lehrmittel
    Seestr. 21
    D - 6774 Schlaitz
    (Hier heißen die Modelle Polydron und werden von der gleichnamigen englischen Firma hergestellt. Sie sind auch über weitere Händler zu beziehen.)

    Schließlich gibt es auch mit Motiven von M. C. Escher dekorierte Bausätze der Platonische Körper aus Karton. Sie sind in dem Buch Kaleidozyklen von Doris Schattschneider enthalten, das man über den Buchhandel beziehen kann.

    Eine Java-animierte Darstellung der Platonischen Körper ist hier zu finden.


    Eine sehr informative Seite zu den Platonischen Körpern findet man auch unter diesem externen Link an der Universität Bayreuth.