Primzahlen


Bekanntlich ist eine Primzahl eine von 1 verschiedene natürliche Zahl, die keine Teiler außer 1 und sich selbst hat. Schon in der Antike wußten griechische Mathematiker, daß sich jede natürliche Zahl eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) in ein Produkt von Primzahlen zerlegen läßt und daß es unendlich viele verschiedene Primzahlen gibt. Im Buch IX der Elemente des Euklid (um 300 v. Chr.) findet sich nämlich der folgende Widerspruchsbeweis: Nimmt man an, daß es nur endlich viele Primzahlen gibt, also etwa p1, p2, ... pn, dann ist die Zahl m=p1*p2* ... *pn+1 größer als alle diese Primzahlen und wird von keiner Primzahl geteilt. Also ist m selbst eine Primzahl, ein Widerspruch zur Annahme.

Mit Hilfe des Siebverfahrens des Eratosthenes (um 200 v. Chr.) kann man im Prinzip folgendermaßen nach und nach jede Primzahl finden. Man beginnt mit der unendlich langen Liste aller natürlichen Zahlen größer als 1. In ihr ist die kleinste Zahl, die 2, eine Primzahl. Man entfernt alle ihre Vielfachen aus der Liste. Die kleinste Zahl der Restliste, die größer ist als die soeben gefundene Primzahl, also in diesem Fall die 3, ist die nächste Primzahl. Man entfernt nun alle ihre Vielfachen aus der Liste usw.

So ergeben sich folgende Primzahlen von 1 bis 1000:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37
41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593
599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743
751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Die Jagd nach großen Primzahlen

Natürlich ist dieses theoretische Verfahren nicht praktikabel, um schnell eine beliebig lange Liste von Primzahlen zu erzeugen. Es ist bis heute auch keine Formel bekannt, die es gestattet, schnell beliebig große Primzahlen zu berechnen, oder aus einer gegebenen Primzahl eine noch größere Primzahl herzustellen.

Daher gibt es beim aktuellen Stand der Forschung immer eine zur Zeit größte bekannte Primzahl und der augenblickliche Rekord steht bei

230402457-1.

Es ist nun keineswegs so, daß man alle Primzahl unterhalb dieser sehr großen Zahl kennt, wie das beim Siebverfahren des Eratosthenes der Fall wäre. Mit Hilfe der Mersenne-Zahlen läßt sich eine solche Zahl bestimmen. So ist diese Zahl selbst auch eine Mersenne- Zahl.

Weiterhin kann man für gewisse Primzahlen auch besondere Zusammenhänge feststellen. So gibt es beispielweise

Außerdem gibt es Es gibt auch Eine sehr praktische Anwendung finden die Primzahlen in der Kryptographie, denn viele Verschlüsselungssysteme, beispielsweise das RSA-Verfahren, basieren darauf, daß man sehr schnell große Primzahlen finden und multiplizieren kann. Beispielweise kann man innerhalb von Sekunden problemlos zwei 500-stellige Primzahlen finden und miteinander multiplizieren. Andererseits hat man aber keine effizienten Verfahren, um diese Zahlen wieder zu faktorisieren. Selbst mit den heutigen Methoden würde die Rückgewinnung der beiden Primfaktoren aus diesem 1000-stelligen Produkt Millionen von Jahren dauern.

Bei der Primfaktorzerlegung gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik. Dieser besagt, daß sich jede positive ganze Zahl bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen läßt. Die in dieser Darstellung auftretenden Primzahlen nennt man die Primfaktoren der Zahl. Die Schwierigkeiten bei der Primfaktorzerlegung bezeichnet man als Faktorisierungsprobleme. Doch man versucht sie mit geeigneten Faktorisierungsverfahren zu minimieren. Da sich jede natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben läßt, nehmen die Primzahlen eine besondere Stellung in der Zahlentheorie ein. Sie nehmen daher eine ähnliche Stellung wie die Atome in der Chemie ein.

Die Sophie-Germain-Primzahlen sind eine ganze Klasse von Primzahlen, die für bestimmte zahlentheoretische Untersuchungen eine große Rolle gespielt haben. Eine weitere interessante Klasse von Primzahlen, die eng mit der Konstruierbarkeit regelmäßiger n-Ecke allein mittels Zirkel und Lineal verbunden sind, stellen die Fermatschen Primzahlen dar.