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Spiralen in Natur, Technik und Kunst

In diesem Projekt werden verschiedene Arten von ebenen und räumlichen Kurven untersucht, die sich alle unter dem Oberbegriff Spiralen zusammenfassen lassen. Neben der mathematischen Analyse der jeweiligen Kurve werden auch immer Beispiele für ihr Auftreten in der Natur, bei technischen Problemen oder in künstlerischen Arbeiten angegeben.

Bereits Archimedes verfaßte eine Abhandlung "Über Spiralen", in der er die folgende Definition gab: Wenn sich ein Halbstrahl in einer Ebene um seinen Endpunkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit dreht, nach einer beliebigen Zahl von Drehungen wieder in die Anfangslage zurückkehrt und sich auf dem Halbstrahl ein Punkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit, vom Endpunkt des Halbstrahls beginnend, bewegt, so beschreibt dieser Punkt eine Spirale.

Betrachtet man nur die erste volle Umdrehung des Halbstrahls, so kann man, wegen der gleichförmigen Bewegung des Halbstrahls, den Winkel zwischen der Lage des Halbstrahls zur Zeit t und der Lage des Halbstrahls zur Zeit t=0 direkt zur Messung der Zeit t benutzen. Damit ist andererseits, wegen der gleichförmigen Bewegung des Punktes P auf dem Halbstrahl, der Abstand r des Punktes P vom Endpunkt O des Halbstrahls proportional zur Zeit t. In moderner Bezeichnungsweise ergibt sich damit die Kurve, die der Punkt in einem Polarkoordinatensystem beschreibt, zu

r = c*t

mit einer positiven Konstanten c. Dies ist die allgemeine Gleichung der Archimedischen Spirale in Polarkoordinaten.

In Verallgemeinerung dieser Formel soll hier unter einer ebenen Spirale eine Kurve in einem Polarkoordinatensystem verstanden werden, für die der Radius r eine stetige, monotone (wachsende oder fallende) und nicht konstante Funktion von r ist, wobei der Winkel t ein bestimmtes reelles Intervall oder auch alle reellen Zahlen durchläuft, also

r = f(t)

mit einer stetigen, monotonen und nicht konstanten Funktion f: I -> R.


In den folgenden Tabellen sind die innerhalb dieses Projektes bereits bearbeiteten Fälle zusammengefaßt.

Ebene Spiralen

Name Anwendungsbeispiele
Archimedische Spirale Eine der "Schneckenlinien" bei A. Dürer
Wurzelspirale
Schmuck
Fusulinen
Eischnüre von Schnecken
Spinnennetze
Moderne Speichermedien (LP, CD, Videoband)
Belousov-Zhabotinskii-Reaktionen
Fermatsche Spirale  ?
Spirale vom Grad 3  ?
Galileische Spirale Fallinie von Körpern bei rotierender Erde
nach Galilei
Spirale vom Grad 1/3  ?
Logarithmische Spirale Die "ewige lini" bei A. Dürer
Ammoniten, Nautilus, Phyllotaxis,
Bahnkurven von Körpern in bremsenden Medien
nach Newton
Belousov-Zhabotinskii-Reaktionen
Die Goldene Spirale
Die Spira mirabilis
Brunnen von Hannsjörg Voth
Hyperbolische Spirale Startlinie beim Mittelstreckenlauf
Lituus "Bischofsstab"
Geigenkopf
Bug- und Heckverzierung bei Wikingerschiffen
Kreisevolvente Flankenprofil von Zähnen bei Zahnrädern
Quadratur des Kreises nach Vietoris
Cornusche Spirale "Ergonomische" Kurvenführung im Straßenbau

Räumliche Spiralen

Name Anwendungsbeispiele
Schraubenlinien Eine der "Schneckenlinien" bei A. Dürer
Wendeltreppen
Rampen
Doppelhelix der DNS
Archimedische Schrauben
Gewinde von Schrauben
Loxodrome Kurs eines Schiffes bei konstantem Kurswinkel
"Sphärische Spiralen" von M. C. Escher
"Kugeloberfläche mit Fischen" von M. C. Escher
Spiralen auf einem Torus "Spiralen" von M. C. Escher
Schmuck
Konische Spiralen Eine der "Schneckenlinien" bei A. Dürer
Christmas Tree Worm
Schneckenhäuser
R-Körper
Widderhörner


Im weiteren Verlauf dieses Projektes sollen also, durch Erschließung weiterer Quellen, die Einträge in diesen Tabellen vervollständigt und die Tabellen selbst erweitert werden.