Pythagoräische Zahlentripel

Für die Seitenlängen a, b der Katheten und c der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gilt nach dem Satz des Pythagoras

(1)

Man nennt nun drei positive ganze Zahlen a, b und c mit (1) ein Pythagoräisches Tripel. Schon den ägyptischen und babylonischen Mathematikern waren etliche dieser Tripel bekannt, z. B. a = 3, b = 4 und c = 5. Will man nun "alle" (natürlich unendlich viele) derartige Tripel bestimmen, so bemerkt man zunächst, daß mit jedem Tripel a, b und c für jede positive ganze Zahl d auch das Tripel d*a, d*b und d*c pythagoräisch ist und daß man umgekehrt aus

(1')

ein Tripel gemäß (1) erhält. Man kann sich also auf die Bestimmung aller primitiven pythagoräischen Zahlentripel beschränken, d. h. auf solche für die der größte gemeinsame Teiler 1 ist, die also teilerfremd sind. Aus (1) folgt aber sofort, daß jeder gemeinsame Teiler von a und b schon ein gemeinsamer Teiler von c ist. Ebenso muß wegen $a2=\; c2-\; b2$ und $b2=\; c2-\; a2$ aber auch jeder gemeinsame Teiler von c und b bzw. von c und a ein gemeinsamer Teiler aller drei Zahlen sein. Man kann also für die folgenden Überlegungen voraussetzen, daß je zwei dieser drei Zahlen bereits teilerfremd sind. Insbesondere können keine zwei der drei Zahlen gerade sein. Nimmt man nun an, a und b seien beide ungerade, also etwa $a\; =\; 2*n\; +\; 1$ und $b\; =\; 2*m\; +\; 1$ mit natürlichen Zahlen n und m, so folgt

d. h. $c2$ läßt bei Division durch 4 den Rest 2. Nun ist für eine gerade Zahl c das Quadrat $c2$ aber durch 4 ohne Rest teilbar, während für eine ungerade Zahl c das Quadrat bei Division durch 4 den Rest 1 läßt. Dieser Widerspruch zeigt, daß genau eine der beiden Zahlen gerade ist, etwa a, und die andere, also b, ungerade. Da c und a teilerfremd sind, muß folglich auch c ungerade sein. Damit sind c + b und c - b positive ganze Zahlen und man hat die Zerlegung

(2)

mit positiven ganzen Zahlen $x\; =\; (c\; +\; b)/2$ und $y\; =\; (c\; -\; b)/2$. Diese beiden Zahlen müssen ebenfalls teilerfremd sein, denn ein gemeinsamer Teiler von x und y ist auch ein gemeinsamer Teiler von c = x + y und b = x - y. Folglich ist jeder Primfaktor von $a2/4$ entweder nur Primfaktor von x oder nur Primfaktor von y. Damit sind aber x und y selbst Quadratzahlen, etwa $x\; =\; s2$ und $y\; =\; t2$ mit positiven ganzen Zahlen s und t, die wie x und y teilerfremd sein müssen. Insgesamt gilt also für jedes primitive pythagoräische Zahlentripel

(3)

mit teilerfremden positiven ganzen Zahlen $s\; >\; t$, von denen genau eine gerade sein muß, damit b und c ungerade sind.

Sind umgekehrt s und t derartige Zahlen, so gilt

also (1). Durch sämtliche Wahlen für s und t wie oben beschrieben kann man dann systematisch alle primitiven pythagoräischen Zahlentripel erzeugen. Die folgende Tabelle zeigt den Anfang einer derartigen Liste.

Bestimmte Pythagoräische Zahlentripel werden Babylonische Zahlentripel genannt, da ihr Aufbau in bestimmter Weise mit dem babylonischen Zahlensystem verbunden ist.