Rechteck


Definition: Unter einem Rechteck versteht man ein ebenes Viereck mit vier rechten Winkeln.

Insbesondere ist ein Rechteck stets ein konvexes Viereck. Da wegen der rechten Winkel die Gegenseiten parallel zueinander sind, handelt es sich um ein Parallelogramm. Die Gegenseiten sind also jeweils gleich lang und die Diagonalen halbieren einander. Außerdem zerlegt jede Diagonale das Rechteck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Da die beiden Katheten dieser vier Dreiecke jeweils nebeneinanderliegende Seiten des Rechtecks sind, sind sogar alle vier Dreiecke untereinander kongruent. Daher sind die Diagonalen des Rechtecks als Hypotenusen dieser Dreiecke gleich lang. Umgekehrt kann man ein Rechteck auch durch diese beiden Eigenschaften seiner Diagonalen charakterisieren.

Wegen der rechten Winkel und der Tatsache, daß die Diagonalen einander halbieren, liegen die Eckpunkte eines Rechtecks auf dem Thaleskreis um den Schnittpunkt der Diagonalen. Ein Rechteck besitzt also einen Umkreis, es ist ein Sehnenviereck. Dagegen besitzt ein Rechteck nur dann einen Inkreis, und ist damit ein Sehnentangentenviereck, wenn alle Seiten gleich lang sind, was nur für das Quadrat zutrifft.

Ein beliebiges Rechteck besitzt zwei Spiegelungsachsen, nämlich seine Mittellinien, das sind die Verbindungsgeraden der Mitten gegenüberliegender Seiten, und ein Symmetriezentrum, den Schnittpunkt dieser Mittellinien. Um dieses Zentrum ist eine Drehung um 180o möglich.

Der Flächeninhalt A des Rechtecks ergibt sich aus den Längen a und b der beiden Rechteckseiten zu

A = a*b,

und für die Länge d der Diagonalen gilt nach dem Satz des Pythagoras

d2 = a2 + b2,
man kann also jede der drei Größen durch die anderen beiden ausdrücken.

Die Form eines Rechtecks ist durch das Verhältnis von längerer Rechteckseite a zu kürzerer Rechteckseite b eindeutig festgelegt. Es ist 1 <= rho und rho = 1 gilt genau für Quadrate. Ebenso läßt sich die Form eindeutig durch den kleineren Winkel alpha der beiden Winkel zwischen den Diagonalen beschreiben. Es ist also 0o < alpha <= 90o und es gilt der Zusammenhang

tan(alpha/2) = b/a = 1/rho.

Verbindet man jeweils die Seitenmitten von zwei nebeneinanderliegenden Seiten eines Rechtecks miteinander, so entsteht eine Raute. Verbindet man umgekehrt entsprechend die Seitenmitten einer beliebigen Raute miteinander, so erhält man ein Rechteck. Man sagt, daß beide Vierecke, also Rechteck und Raute, dual zueinander sind. Dabei ist rho gerade das Verhältnis der Diagonalenlängen der Raute, und alpha ist der (kleinere) Winkel der Raute. Da Rechtecke und Rauten dual zueinander sind, besitzen sie auch dieselben Symmetrieabbildungen.

Unter den Rechtecken kann man durch das Seitenverhältnis rho dieselben Spezialfälle hervorheben wie unter den Rauten. Insbesondere für den goldenen Schnitt rho = phi erhält man so die "Goldenen Rechtecke" mit der folgenden Eigenschaft. Entfernt man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat mit der Kantenlänge der kleineren Rechteckseite, so entsteht wiederum ein goldenes Rechteck.

Dagegen haben Rechtecke vom Format der DIN-A-Blätter ein Seitenverhältnis von rho = sqrt(2), denn ein derartiges Rechteck zerfällt durch die Seitenhalbierende der längeren Rechteckseiten in zwei Rechtecke vom halben Flächeninhalt, die zum ursprünglichen Rechteck ähnlich sind. Schließlich sind noch Rechtecke hervorzuheben, die durch die genannte Seitenhalbierende in zwei Quadrate zerfallen. Für sie gilt also rho = 2.