Rechtwinkliges Dreieck


Definition: Unter einem rechtwinkligen Dreieck versteht man ein Dreieck, das einen rechten Winkel besitzt.

Wegen des Satzes über die Winkelsumme im Dreieck sind die anderen beiden Winkel dann spitze Winkel und ergänzen einander zu 90o, sind also Komplementwinkel. Man nennt die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, die Hypotenuse des Dreiecks und die anderen beiden Seiten die Katheten. Üblicherweise wählt man die Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck so, daß gamma der rechte Winkel ist, also c die Hypotenuse und a und b die Katheten.

Die Form eines rechtwinkligen Dreiecks ist also eindeutig durch die Angabe des Winkels alpha bestimmt. Insbesondere ist die Form eines rechtwinklig-gleichschenkliges Dreiecks (alpha = beta = 45o bzw. a = b) eindeutig bestimmt. Es handelt sich dann um die Hälfte eines Quadrates, das längs seiner Diagonalen halbiert wurde.

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks: Dreht man ein rechtwinkliges Dreieck um den Mittelpunkt seiner Hypotenuse um 180o und fügt die beiden Dreiecke zusammen, so entsteht ein Rechteck der Kantenlängen a und b, das daher den Flächeninhalt a*b besitzt. Also gilt für den Flächeninhalt A des rechtwinkligen Dreiecks

A = a*b/2.

Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt mit den oben gewählten Bezeichnungen

a2 + b2 = c2.

Beweis:

Zu einem gegebenen rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c bilde man das Quadrat der Kantenlänge a+b und schneide von diesem viermal das Dreieck wie in der linken Figur ab. Übrig bleibt ein Quadrat vom Flächeninhalt c*c. Schneidet man dieselben vier Dreiecke aber auf die rechts angegebene Weise ab, so bleiben die kleineren Quadrate mit den Flächeninhalten a*a und b*b übrig. Da die Reste gleich sein müssen, folgt die Behauptung.

Bemerkung: Es gilt auch die Umkehrung des Satzes des Pythagoras. Gilt für die drei Seiten a, b und c eines Dreiecks die Beziehung a2 + b2 = c2, so ist das Dreieck rechtwinklig, und a und b sind die Katheten und c ist die Hypotenuse dieses Dreiecks. Der Beweis ergibt sich aus dem Kongruenzsatz sss, nach dem zwei Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, zueinander kongruent sind, und es nach dem Satz des Pythagoras ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den drei angegebenen Seiten gibt.

Höhensatz: Die Höhe h des rechtwinkligen Dreiecks durch den Punkt C teilt die Hypotenuse c in Abschnitte p, der an die Seite a anstößt, und q, der an die Seite b anstößt. Mit diesen Bezeichnungen gilt

h2 = p*q.

Beweis: Nach dem Satz des Pythagoras gilt nämlich in dem gegebenen rechtwinkligen Dreieck und den beiden rechtwinkligen Teildreiecken

a2 + b2 = c2
sowie
a2 = h2 + p2
und
b2 = h2 + q2.
Mit c = p+q erhält man c2 = p2 + q2 + 2*p*q und daher
2*h2 + p2 + q2 = a2 + b2 = c2 = 2*p*q + p2 + q2,
woraus die Behauptung folgt.

Kathetensatz: Mit denselben Bezeichnungen wie im Höhensatz gilt

a2 = p*c und b2 = q*c.

Beweis: Aus c = p + q folgt mit dem Höhensatz p*c = p*p + p*q = p*p + h*h = a2 und analog q*c = q*p + q*q = h*h + q*q = b2.