Reguläre Polytope im vierdimensionalen Raum

Im Jahre 1880 hat W. Stringham erstmals reguläre Polytope im vierdimensionalen Raum untersucht und gezeigt, daß es genau die folgenden sechs derartigen Polytope gibt.

Name	Hyperflächentyp	$n$ ₀	$n$ ₁	$n$ ₂	$n$ ₃	Dualität
5-Zell	Tetraeder	5	10	10	5	selbstdual
8-Zell	Hexaeder	16	32	24	8	dual zum 16-Zell
16-Zell	Tetraeder	8	24	32	16	dual zum 8-Zell
24-Zell	Oktaeder	24	96	96	24	selbstdual
120-Zell	Dodekaeder	600	1200	720	120	dual zum 600-Zell
600-Zell	Tetraeder	120	720	1200	600	dual zum 120-Zell

Reguläre Polytope in höherdimensionalen Räumen

In Räumen mit mehr als 4 Dimensionen gibt es nur jeweils genau drei reguläre Polytope, die dem Tetraeder, dem Hexaeder und dem Oktaeder im dreidimensionalen Raum entsprechen.

1) Das von $n+1$ regulären Polytopen der Dimension $n-1$ begrenzte $n$ -dimensionale Polytop, von denen jedes $n$ Hyperflächen der Dimension $n-2$ besitzt. Dieses Polytop hat $n+1$ Ecken und ist selbstdual.

2) Das von $2n$ regulären Polytopen der Dimension $n-1$ begrenzte $n$ -dimensionale Polytop, von denen jedes $2n-2$ Hyperflächen der Dimension $n-2$ besitzt. Dieses Polytop hat $2$ ⁿ Ecken und ist dual zu 3).

3) Das von $2$ ⁿ Polytopen der Dimension $n-1$ begrenzte $n$ -dimensionale Polytop, von denen jedes $n$ Hyperflächen der Dimension $n-2$ besitzt. Dieses Polytop hat $2n$ Ecken und ist dual zu 2).