Rhombus


Definition: Unter einem Rhombus oder einer Raute versteht man ein ebenes Viereck mit gleich langen Seiten.

Insbesondere ist eine Raute stets ein konvexes Viereck. Außerdem zerlegt jede Diagonale die Raute in zwei kongruente gleichschenklige Dreiecke. Hieraus ergibt sich, daß die beiden Diagonalen einander halbieren und senkrecht aufeinander stehen. Umgekehrt kann man eine Raute auch durch diese Eigenschaften ihrer Diagonalen charakterisieren.

Also handelt es sich bei einem Rhombus um ein spezielles Parallelogramm mit gleich langen Seiten. Daher sind die Höhen in diesem Parallelogramm gleich und der Rhombus besitzt einen Inkreis. Dagegen besitzt ein Rhombus nur dann einen Umkreis, wenn beide Diagonalen gleich lang sind, was nur für das Quadrat zutrifft.

Ein beliebiger Rhombus besitzt also zwei Spiegelungsachsen, nämlich seine Diagonalen, und ein Symmetriezentrum, den Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Um dieses Zentrum ist eine Drehung um 180o möglich.

Außer in dem Spezialfall des Quadrates, bei dem alle vier Winkel gleich sind, besitzt ein Rhombus zwei gleiche spitze und zwei gleiche stumpfe Winkel, die jeweils einander gegenüberliegen. Dabei ergänzen sich je ein stumpfer und ein spitzer Winkel zu 180o. Die Form eines Rhombus ist also durch einen dieser Winkel, etwa den kleineren Winkel alpha mit 0 < alpha <= 90o, eindeutig bestimmt. Ebenso ist die Form schon vollständig durch das Verhältnis rho = e/f von längerer Diagonale e zu kürzerer Diagonale f bestimmt. Dabei gilt also 1 <= rho, wobei der Fall rho = 1 genau die Quadrate beschreibt.

 

Für den Zusammenhang zwischen alpha und rho gilt offensichtlich

tan(alpha/2) = (f/2)/(e/2) = f/e = 1/rho.

Bezeichnet a die Seitenlänge des Rhombus, so gilt nach dem Satz des Pythagoras a2 = (f/2)2 + (e/2)2, wodurch man jede dieser Größen durch die beiden anderen (oder eine der anderen und rho) ausdrücken kann.

Der Flächeninhalt A der Raute ergibt sich offensichtlich zu

A = e*f/2.

Wegen sin(alpha/2) = f/(2*a) und cos(alpha/2) = e/(2*a) erhält man hieraus auch

A = 2*a*a*sin(alpha/2)*cos(alpha/2) = a*a*sin(alpha).

Verbindet man jeweils die Seitenmitten von zwei nebeneinanderliegenden Seiten einer Raute miteinander, so entsteht ein Rechteck. Verbindet man umgekehrt entsprechend die Seitenmitten eines beliebigen Rechtecks miteinander, so erhält man eine Raute. Man sagt, daß beide Vierecke, also Raute und Rechteck, dual zueinander sind. Dabei ist rho gerade das Verhältnis der Rechteckseiten a und b, und alpha ist der (kleinere) Winkel zwischen den beiden Diagonalen des Rechtecks. Da Rechtecke und Rauten dual zueinander sind, besitzen sie auch dieselben Symmetrieabbildungen.

Für die Bildung von Rhombenkörpern, das sind konvexe Körper, deren Oberflächen aus Rhomben derselben Größe bestehen, kommen (bei mehr als sechs Flächen) speziell zwei Typen von Rhomben in Frage, solche mit einem Diagonalenverhältnis von rho = sqrt(2) und von rho = phi, für die Verhältniszahl phi = (1 + sqrt(5))/2 des Goldenen Schnittes. Hieraus ergeben sich Näherungswerte für alpha von 70.5288...o im ersten bzw. 63.4349...o im zweiten Fall.

Eine weitere spezielle Raute ergibt sich für alpha = 60o, da in diesem Fall die Raute aus zwei gleichseitigen Dreiecken besteht. Hierbei gilt daher rho = sqrt(3).