Psephoi (Zählsteine)


Die Serie "Psephoi" beinhaltet Bilder, welche die Psephoi-Arithmetik, also das Rechnen mit Zählsteinen zum Vorbild haben. Diese Zählsteine wurden von antiken Mathematikern verwendet, um arithmetische Zusammenhänge anschaulich darzustellen.

Beispiele

a) Quadratzahlen



Jede Quadratzahl lässt sich als Summe direkt aufeinander folgender ungerader Zahlen - beginnend bei 1 - darstellen

n2 = 1 + 3 + 5 + 7 + ...

Man beginnt mit einem (weißen) Stein und legt 3 (rote) Steine ergänzend dazu, so dass ein Quadrat entsteht. (Die ergänzende Figur nennt man ein Gnomon (Winkel).)

4 = 1 + 3


An dieses 2*2=4-Quadrat legt man wieder ein Gnomon, diesmal braucht man dafür 5 (weiße) Steine. Es ergibt sich ein 3*3=9-Quadrat.

9 = 1 + 3 + 5


Das nächste 4*4-Quadrat ergibt sich durch Addition von 7 (roten) Zählsteinen.

16 = 1 + 3 + 5 + 7


usw.

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9


b) Heteromeke Zahlen

 


Die Gleichung n*(n + 1) = n2 + n lässt sich ebenfalls durch Psephoi veranschaulichen.

Dabei geht man von einem "Rechteck" aus, das aus 1*2 Steinen besteht.
Dann fügt man ein Gnomon an, das aus 4 Steinen besteht, um 2*3 zu erhalten. Das neu entstandene Rechteck kann man auch als ein (22+2)-Rechteck ansehen.
Das nächste Gnomon enthält 6 Steine und bewirkt angefügt ein 3*4=12-Rechteck.
Dieses Rechteck kann man als (32+3)-Rechteck interpretieren.
Dann folgen 4*5 = 20 = 42 + 4, usw.

Teilt man die Heteromeken (Rechtecke) entlang einer gedachten "Diagonale", so erhält man Dreieckszahlen: 1+2 = 1/2*(2*3), 1+2+3 = 1/2*(3*4), 1+2+3+4 = 1/2*(4*5), usw.
Führt man eine ähnliche Teilung mit den Quadratzahlen durch, so erhält man zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen: 4*4 = 1/2*(4*5) + 1/2*(3*4) oder allgemein

n2 = 1/2*(n-1)*n + 1/2*n*(n+1).


c) Partitionen

 


Eine spannende Zahlenfolge ist diese hier:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176,...


Auch sie lässt sich mit Hilfe von Zählsteinen erklären.
Die Fragestellung, die zu dieser Folge führte, ist:

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, n Steine auf verschiedene Haufen zu verteilen?

Betrachten wir als Beispiel die Zahl 5. Fünf Steine kann man auf folgende Arten zu Haufen schichten:

5
4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 +1
1 + 1 + 1 + 1 + 1

Das sind insgesamt 7 Möglichkeiten, 5 Steine in Haufen anzuordnen. (Die Möglichkeiten nennt man Partitionen.)
Die Folge, die aus dieser einfach klingenden Fragestellung folgt, hat eine recht anspruchsvolle Summenformel[2], welche von Godfrey Harold Hardy und Srinivasa Ramanujan gefunden und dann später von Hans Rademacher verbessert wurde.[3]


Kompliziertere Psephoi-Muster

Bei Plutarch von Chäronea und Diophant findet sich folgender Satz, der sich auch durch Psephoi-Arithmetik beweisen läßt.

Eins plus das Achtfache einer Dreieckszahl ergibt eine Quadratzahl:

1 + 8*1/2*n*(n+1) = 1 + 4*n(n+1) = 4*n2 + 4*n + 1 = (2*n + 1)2.

Als Beispiel betrachten wir n = 4. Wir legen eine Psephoi-Figur der Größe 7*7, dann haben wir 1 plus 4 Rechteckzahlen 3*4, oder eben 1 plus 8 Dreieckszahlen 1/2*(3*4).


Die Summe von Quadratzahlen

In einem babylonischen Text aus hellenistischer Zeit findet sich die folgende recht ungewöhnliche Darstellung der Summe von Quadratzahlen.


12 + 22 + 32 + ... + n2 = 1/3*(1 + 2*n)*(1 + 2 + 3 + ... + n)


Für diese Formel legen wir die Psephoi wie folgt (Beispiel mit n = 4):


Wir haben nun 9 Zeilen und 10 Spalten, also 90 Steine, das sind allgemein (1 + 2*n)*(1 + 2 + 3 + ... + n) Steine, ein Drittel davon ist rot, die anderen schwarz.

Man sieht, dass die schwarzen Steine aus der Summe aufeinanderfolgender Quadratzahlen zusammengesetzt sind: 1*1, 2*2, 3*3, ..., n*n, hier also 4*4.

Man muss also nur mehr zeigen, dass die beiden schwarzen Dreiecke und das rote Dreieck je gleich viele Steine enthalten. Das zeigt man (nach J. E. Hoffmann), indem man die schwarzen (die jetzt bunt dargestellten) Quadrate in Gnomone zerlegt, welche wiederum ihrerseits ausgestreckt die Spalten im roten Dreieck ergeben.
Q.e.d.


Die Summierung der Kuben

Nach Nikomachus[4] war die Summe der Kuben in der Darstellung als Summe bestimmter aufeinander folgender ungerader Zahlen schon den alten Griechen bekannt. Diese Darstellungsform fand auch bei den römischen Agrimensoren (Landmessern) Verwendung.

Beispiele:

1 = 1, 8 = 3 + 5, 27 = 7 + 9 + 11, 64 = 13 + 15 + 17 + 19, usw.

Daraus ergibt sich zum Beispiel:

13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 102 = (1 + 2 + 3 + 4)2

Allgemein folgt also:

13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2.

Beweis (nach Al-Karagi):
Man baut um die Eins Gnomone mit jeweils steigenden Breiten, also mit n = 2, n = 3 usw. Dadurch entstehen Gnomone der Größen 3*3 - 1 = 8, 6*6 - 9 = 27, 10*10 - 36 = 64, was genau den Kuben entspricht. Allgemein: ein Gnomon der Breite n umschließt n*n2 = n3 Steine.
Aus dem Psephoi-Bild ist leicht abzulesen, dass die Summe der Inhalte dieser Gnomone gleich dem Inhalt des Quadrates der Seitenlänge s = 1 + 2 + 3 + ... + n ist.
Q.e.d.


[1] Oskar Becker, Das mathematische Denken der Antike, Verlag Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1966. ISBN 978-3-52525-304-5

[2] http://de.wikipedia.org/wiki/Partitionsfunktion und http://oeis.org/classic/A000041

[3] Marcus du Sautoy, Die Musik der Primzahlen, dtv 2006, 2. Auflage 2008. ISBN 978-3-423-34299-5 <

[4] Nikomachos, Introductio arithmetica, Hrsg. R. Hoche, Lips 1866, S. 20.

Autor: Martina Schettina
Datum: 10.08.2010