Lösung kubischer Gleichungen

 

Alf Krause

Vortrag zum Mathematischen Seminar
im Studiengang Network Computing

 

 Technische Universität Bergakademie Freiberg
Fakultät für Mathematik und Informatik
Institut für Theoretische Mathematik
Prof. Dr. Udo Hebisch

 

 

Historisches

Die Lösungsformel für kubische Gleichungen wurde nach Girolamo Cardano (1501-1576) benannt. Cardano studierte Medizin und Philosophie in Padua und war bereits Rektor der Universität zu Padua, bevor er im 3. Anlauf zum Dr. der Medizin promovierte.

Der Mathematiker Dal Ferro hatte eine Lösung gefunden, diese jedoch nicht publiziert, sondern seine Schülern Annibale dalla Nave und Antonio Maria Fior mitgeteilt. Letzterer forderte Tartaglia (ca. 1500-1557), dessen richtiger Name Nicolo Fontana lautete, zu einem mathematischen Wettstreit heraus, in dem er 30 Aufgaben bei einem Notar hinterlegte, die Tartaglia lösen sollte. Die Aufgaben, die Fior gestellt hatte, waren alle vom Typ x³+px=q. Acht Tage vor Ablauf des Wettstreites fand Tartaglia eine Lösungsformel und konnte die 30 Aufgaben innerhalb von 2 Stunden lösen.

Girolamo Cardano hörte ebenfalls davon, dass Tartaglia im Besitz der Lösungsformel war, er bat diesen, ihm die Formel zu übergeben, damit er sie in seinem nächsten Buch unter Tartaglia’s Namen veröffentlichen konnte. Tartaglia lehnte zuerst ab, übergab jedoch später die Formel an Cardano. Dieser versprach, die Formel nur verschlüsselt aufzubewahren. Cardano selbst erhielt die Formel als Gedicht [1].

 

Quando chel cubo con le cose appresso
Se agguaglia à qualche numero discreto
Trouan dui altri differenti in esso.
Da poi terrai questo per consueto
Che'llor produtto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto,
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti
Varra la tua cosa principale.
In el secondo de cotesti atti
Quando che'l cubo restasse lui solo
Tu osseruarai quest'altri contratti,
Del numer farai due tal part'à uolo
Che l'una in l'altra si produca schietto
El terzo cubo delle cose in stolo
Delle qual poi, per commun precetto
Torrai li lati cubi insieme gionti
Et cotal somma sara il tuo concetto.
El terzo poi de questi nostri conti
Se solue col secondo se ben guardi
Che per natura son quasi congionti.
Questi trouai, & non con paßi tardi
Nel mille cinquecenté, quatroe trenta
Con fondamenti ben sald'è gagliardi
Nella Citta dal mar'intorno centa.

Wenn der Kubus mit den Coßen daneben
gleich ist einer diskreten Zahl,
finden sich als Differenz zwei andere in dieser.
Dann halte es wie gewöhnlich,
daß nämlich ihr Produkt gleich sei
dem Kubus des Drittels der Coßen,
Und der Rest dann, so die Regel,
ihrer Kubusseiten wohl subtrahiert
wird sein deine Hauptcoß.
In dem zweiten von diesen Fällen,
wenn der Kubus allein steht
und du betrachtest die anderen zusammengezogen,
Von der Zahl mache wieder zwei solche Teile,
daß der eine in den anderen multipliziert
den Kubus des Drittels der Coßen ergibt.
Von jenen dann, so die gemeine Vorschrift,
nimm die Kubusseiten zusammen vereint
und diese Summe wird dein Konzept sein.
Die dritte nun von diesen unseren Rechnungen
löst sich wie die zweite, wenn du wohl beachtest,
daß sie von Natur aus gleichsam verwandt sind.
Dieses fand ich, nicht schwerfälligen Schritts,
im Jahre tausendfünfhundertvierunddreißig
mit Begründungen triftig und fest
In der Stadt vom Meer rings umgürtet.

Ein ausführliche Herleitung der Formel aus dem Gedicht ist im WWW unter http://www.mathematik.uni-kl.de/~meyer/Cardano/card.html zu finden.

 

Definition

Eine Kubische Gleichung bzw. Gleichung 3. Grades ist eine Gleichung, in der die höchste Potenz, in der die Unbekannte x vorkommt, gerade 3 (also x³) ist:

Eine Lösung dieser Gleichungen ist deutlich schwieriger, als die der quadratischen Gleichungen, da zur Lösung Quadratwurzel und Kubikwurzeln benötigt werden.

 

Lösungsverfahren

Die Lösung der kubischen Gleichung erfolgt in mehreren Schritten [2]. Als erstes empfiehlt es sich, die gesamte Gleichung mit  zu multiplizieren, um im weiteren Verlauf der Lösung Brüche zu vermeiden. Dies ergibt die folgende Gleichung:

 

aus der jetzt noch die 2. und 3. Potenz isoliert werden:

1. Schritt – kubische Ergänzung

In diesem Schritt wird, ähnlich der quadratischen Ergänzung der quadratischen Gleichung, eine kubische Ergänzung ermittelt. Damit kann die linke Seite der Gleichung als  geschrieben werden.

 

Gemäß der binomischen Formel gilt:

somit gilt auch:

Daraus folgt, dass der Term  als kubische Ergänzung auf beiden Seiten addiert werden kann.

Danach wird die linke Seite als Kubus geschrieben und die rechte Seite zusammengefasst

Jetzt wird aus dem Term  noch   ausgeklammert. Daraus ergibt sich:

In diesem Term wird jetzt noch   als geschrieben:

2. Schritt – Substitution von x

In der Gleichung :

wird jetzt folgende Substitution durchgeführt:

Daraus ergibt sich eine neue Gleichung der Form:

Jetzt werden alle Glieder der letzten Gleichung auf die linke Seite gebracht. Das Ergebnis wird als reduzierte kubische Gleichung in der Form:

mit

dargestellt.

Die reduzierte kubische Gleichung enthält kein quadratisches Glied mehr, jedoch ein lineares Glied 3py, so dass die Gleichung für nicht mittels einer Kubikwurzel gelöst werden kann.

3. Schritt – Darstellung der Lösung mittels zweier Kubikwurzeln

Für die reduzierte kubische Gleichung gilt:

Unter der Annahme, dass sich y aus der Summe zweier Kubikwurzeln u und v darstellen lässt, wird in der reduzierten kubischen Gleichung

substituiert:

Unter Verwendung der binomischen Formeln ergibt sich:

Die Methode des Koeffizientenvergleichs besagt, dass diese Gleichung sicher erfüllt ist, wenn die folgenden Bedingungen gelten:

Die erste Bedingung kann umgeformt werden gemäß:

Damit gilt für u und v das Gleichungssystem:

4. Schritt – Lösung des Gleichungssystems

Das obige Gleichungssystem ist zwar nicht linear, aber trotzdem einfach lösbar. Dabei hilft der Satz von Vieta für quadratische Gleichungen, der besagt:

Sind x1 und x2 Nullstellen der quadratischen Gleichung:

so gilt:

Auf das Gleichungssystem aus Schritt 3 angewandt, indem und gesetzt werden, ergibt sich für die Summe von und  gleich –q. Das Produkt von  und  ist gleich . Entsprechend dem Satz von Vieta sind  und  die beiden Lösungen   und der quadratischen Resolvente:

Die Lösungen der quadratischen Resolvente lauten aber:

 

es folgt:

Um u und v zu ermitteln, wird jetzt aus dem obigen Term die Kubikwurzel gezogen. Zur Vermeidung einer Kubikwurzel im Nenner wird der gesamte Term mit 4 erweitert.

 

Daraus ergeben sich folgende Lösungen für u und v:

Daraus ergibt sich die erste Lösung der reduzierten kubischen Gleichung:

Durch die Rücksubstitution  ergibt sich eine Lösung der allgemeinen kubischen Gleichung:

Ist die Diskriminante der quadratischen Resolvente positiv oder null, besitzen u und v reelle Werte.
Die Betrachtung reeller Radikanden der Kubikwurzel kann entfallen, da diese immer im Reellen lösbar sind. In diesem Fall sind daher y1 und x1 reelle Lösungen der (reduzierten) kubischen Gleichung.
Sofern die Diskriminante negativ ist, tritt der "Casus irreducibilis" ein, auf den später eingegangen wird.

Aus dem Fundamentalsatz der Algebra (Gauß um 1800) ist bekannt, dass jede algebraische Gleichung n-ten Grades genau n reelle oder komplexe Lösungen besitzt. Weiterhin ist bekannt, dass jede Gleichung n-ten Grades für ungerade n mindestens eine reelle Lösung besitzt.

Das heißt, dass die kubische Gleichung 3 Lösungen besitzt, wovon eine bereits bekannt ist. Um die beiden anderen Lösungen zu ermitteln, wendet man die Polynomdivision an und spaltet den zu gehörigen Linearfaktor vom kubischen Polynom ab.

 

Der Divisionsrest ist gleich null, da y1 die reduzierte kubische Gleichung erfüllt.

Die beiden weiteren Lösungen y2, y3 der kubischen Gleichung ergeben sich jetzt aus der quadratischen Gleichung:

die mit uv=-p wie folgt geschrieben werden kann:

Die Diskriminante der quadratischen Gleichung beträgt:

 

Die Diskriminante ist also negativ für alle reellen u und v (ausgenommen u=v).  Daraus ergibt sich, dass für  zwar die erste Lösung y1 reell ist, jedoch die beiden weiteren Lösungen der kubischen Gleichung konjugiert komplex sind.  

Die drei Lösungen der reduzierten kubischen Gleichung lauten dann:


Für u=v ist also  eine weitere (doppelte) reelle Nullstelle.

Damit ergeben sich die Lösungen der allgemeinen kubischen Gleichung:

 

Behandlung des „Casus irreducibilis“

 In diesem Fall besitzt die quadratische Resolvente eine negative Diskriminante, so daß z1 und z2 komplex werden. Für diesen Fall gilt das Folgende:

 

Die beiden Lösungen der quadratischen Resolvente sind konjugiert komplex. Diese Lösungen werden jetzt in der trigonometrischen Form, d. h. als Betrag und Argument (Phasenwinkel), dargestellt.

 

 

 

Nach der Formel von Moivre wird die n-te Wurzel einer komplexen Zahl berechnet, indem aus ihrem Betrag die Wurzel gezogen und ihr Argument durch n geteilt wird. Für den vorliegenden Fall sind dies die Kubikwurzel aus z1 und z2:

 

 

Also können u und v auch wie folgt dargestellt werden:

 

                                      

Es sind also nicht nur z1 und z2 konjugiert komplex, sondern auch ihre Kubikwurzeln u und v.

Da die Summe zweier konjugiert komplexer Zahlen  reell ist (da sich die Imaginärteile aufgrund der verschiedenen Vorzeichen aufheben), ist die erste Lösung der reduzierten kubischen Gleichung auch in diesem  Fall reell:

 

 

 

Die Berechnung für y3 erfolgt analog.

Beispiele [3][4]

 

Zusammenfassung

Eine kubische Gleichung

besitzt immer drei reelle oder eine reelle und zwei komplexe Nullstellen.

Zuerst wird die allgemeine kubische Gleichung durch die lineare Transformation 

 auf die reduzierte kubische Gleichung

gebracht.

Danach wird die Diskriminante  berechnet.

Für D > 0 gibt es eine reelle und zwei komplexe Lösungen

Im Fall D=0 existieren 3 reelle Nullstellen, von den mindestens zwei gleich sind. Die Berechnung erfolgt wie im Fall D>0.

Für den Fall D<0 gibt es drei verschiedene reelle Lösungen:

Die Lösungen der allgemeinen kubischen Gleichung lauten in jedem Fall:

Downloads:

Lösung kubischer Gleichung (PDF)

 

Weitere Informationen im WWW:

http://www.mathematik-online.de/F24.htm
http://www.mathematik-online.de/F72.htm
http://www.mathematik.uni-kl.de/~meyer/Cardano/card.html
http://www.cg.inf.ethz.ch/~bauer/algebra.html

 

Quellenangaben

[1]    Deutsche Übersetzung von Prof. Dr. Heinz Lüneburg
         http://www.mathematik.uni-kl.de/~meyer/Cardano/card.html
         http://www.mathematik.uni-kl.de/~luene/miszellen/Tartaglia.html

[2]    Algebraische Gleichungen
         http://www.cg.inf.ethz.ch/~bauer/algebra.html

[3]   Mathematik-Online
        http://www.mathematik-online.de/F24.htm

[4]    Bartsch – Mathematische Formeln