Archimedische Spirale, Wurzelspirale und Auf- und Abwickeln

 

 

 

Archimedische Spirale

Wurzelspirale

Auf- und Abwickeln

 

 

Die Archimedische Spirale

 

Archimedes, 287 v. Chr. in Syrakus geboren und starb dort auch 212 v. Chr. während des punischen Krieges durch einen römischen Soldaten. Er war dort als Mathematiker, Ingenieur und technischer Berater der Könige tätig. Unzweifelhaft war er einer der größten Mathematiker aller Zeiten, vielleicht nur noch mit Newton und Gauss vergleichbar. Als erster untersuchte er systematisch Probleme der Mechanik und lieferte eine mathematische Theorie des Wägens und der schwimmenden Körper (Auftriebsprinzip). Außerdem beschäftigte er sich mit Spiralen und definierte sie mit folgendem Satz: "Wenn ein Halbstrahl sich innerhalb einer Ebene um seinen Endpunkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit dreht, bis er wieder in seine Ausgangsstellung zurückkehrt, gleichzeitig aber sich ein Punkt auf diesem Halbstrahl mit gleichförmiger Geschwindigkeit vom Endpunkt des Halbstrahls aus bewegt, so wird der Punkt eine Spirale beschreiben."

 

Was Archimedes zur Beschäftigung mit Spiralen Anlaß gab, kann nicht endgültig geklärt werden. Sicher ist jedoch, dass ihm die Art der Formgebung aus der täglichen Erfahrung bekannt war, wie z.B. Schneckenhäuser, eingewickelte Schiffstaue und Kopfstücke ionischer Säulen. Eine besondere Form der Spirale ist die nach ihm benannte "Archimedische Spirale". Eine Archimedische Spirale liegt dann vor, wenn sein Abstand vol Mittelpunkt gleichmäßig zunimmt, d.h. schneidet man die Kurve mit einem Radialstrahl, so haben die Schnittpunkte aufeinanderfolgender Spiralwindungen stets den gleichen Abstand voneinander

 

Die allgemeine Gleichung der Archimedischen Spirale in Polarkoordinaten lautet:

r = a *

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Die Wurzelspirale

 

Theodorus von Kyrene soll nach dem Zeugnis Platos um 400 v. Chr. die Irrationalität aller Quadratwurzeln von Nichtquadratzahlen bis gezeigt haben.

Der Legende nach, wurde er bei unterbrochen. Eine mögliche Ursache dieser "Unterbrechung" liefert die Annahme, Theodorus von Kyrene habe die Quadratzahlen auf folgende Weise konstruiert.

Nach dem Satz des Pythagoras hat die Diagonale des Einheitsquadrates die Länge .

Nun wird senkrecht zu dieser Diagonalen erneut eine Einheitsstrecke angelegt.

Durch Fortsetzen des Verfahrens erhält man nacheinander die Quadratwurzeln aller natürlichen Zahlen. Durch die Aneinandersetzung der rechtwinkligen Dreiecke wird eine Spirale gebildet, wobei gerade die letzte Zahl ist, für welche der Vollwinkel noch nicht überschritten wird.

Als kennzeichnendes Merkmal ist die Abhängigkeit der Hypotenusenlänge vom Drehwinkel zu suchen.

Nennen wir den Ausgangsradius , welcher gleich ist. i=1,2,...
(laut Satz des Pythagoras)

Dann berechnet sich der Winkel j an der Stelle i folgendermaßen:

wobei die Ankatete des jeweiligen Dreiecks ist

Bsp.: Berechnung der Winkel und .

Für den Gesamtwinkel, welchen die Hypotenuse mit der Polarachse einschließt, ergibt sich daraus:

der Gesamtwinkel mit der Polarachse ergibt dann:

Die Beziehung zwischen Radius und Winkel der Wurzelspirale ergibt einen fast linearen Zusammenhang, d.h. die Wurzelspirale unterscheidet sich nach außen immer weniger von einer Spirale mit konstantem Windungsabstand

eine Annäherung an eine "Archimedische Spirale" und es gilt:

Da dies sehr kompliziert ist und nicht explizit angegeben werden kann, wird der fast lineare Zusammenhang anhand der Berechnungen einiger Größen gezeigt.

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Vom Auf- und Abwickeln

Spiralen sind sowohl in der Kunst als auch im alltäglichem Design häufig auftretende Motive. Die Frage stellt sich nur: "Wie zeichnen Künstler ihre Spiralen, wenn diese vollkommen regelmäßig sein sollen?"

Folgendes Verfahren wird an der Aachener Fachhochschule für Design und Graphik gelehrt:

· Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck und verlängere dessen Seiten

· Nun wird mit dem Zirkel um einen der Eckpunkte ein Kreisbogen geschlagen, welcher von im Uhrzeigersinn benachbartem Eckpunkt ausgeht und auf der Verlängerung der nächsten Seite endet

· Zyklisch wechselnd wird die Figur nun durch 120° Bögen fortgesetzt. Jeder dieser Kreisbögen beginnt im Endpunkt des vorangegangenen und endet im Schnittpunkt mit der Verlängerung der nächsten Dreiecksseite.

der Radius wächst bei jedem Schritt um eine Seitenlänge und das Verfahren wird solange fortgesetzt, bis die entstehende Spirale ihre gewünschte Größe besitzt.

Diese Methode zur Konstruktion einer regelmäßigen Spirale besteht also im Prinzip darin, daß ein mehrfach um ein Vieleck geschlungener Faden abgewickelt wird, in dessen Ende ein Zeichengerät befestigt wird. Daher auch der Begriff des Auf- und Abwickelns.

 

Die n-Eck-Spiralen haben den großen Vorteil, dass alle ihre Eigenschaften aus der Konstruktion abgelesen oder elementar berechnet werden können.

Bei den zugehörigen Spiralen haben nach der Konstruktion alle Schnittpunkte mit der Verlängerung einer n-Eck Seite voneinander den gleichen Abstand .

für große Windungszahlen sind die n-Eck-Spiralen gute Näherungen für die Archimedische Spirale mit der Gleichung

Nun zu dem Beweis, das in jedem Schnittpunkt mit den Verlängerungsseiten des n-Ecks der Windungsabstand beträgt:

Bei jedem Zirkelumschlag kommt jeweils eine Seitenlänge hinzu.

Hier im Beispiel

1. Umschlag = a
2. Umschlag = 2a
3. Umschlag = 3a
4. Umschlag = 4a =

Nach dem 4. Umschlag wurde genau eine Windung der Spirale gezeichnet, d.h. von 0 bis .

Wird die Spirale nun weiter gezeichnet, so ist bei dem 5. Umschlag ein Abstand von 5a von der jeweiligen 4-Eck Kante erreicht. Nun muß nur noch der Abstand von der vorherigen Windung zur jeweiligen Kante abgezogen werden und es wird der Abstand von den Windungen der Spirale konstruiert. Hier wäre dies 5a-a=4a= .

Der allgemeine Beweis wird induktiv geführt:

IV.: nach wird ein Abstand von der n-Eck Seite von na= erreicht, d.h. es werden n-Seitenlängen um das n-Eck mit dem Zirkel geschlagen.
Ibeh.:

nach dem +1´tem Umschlag (bzw. n+1 Seiten um das n-Eck geschlagen) ist der Abstand zur vorherigen Windung na=.

Ibew.:

Bei dem n+1´ten Umschlag wird ein Abstand von (n+1)a von der n-Eck-Kante konstruiert.
Der Abstand der vorherigen Windung von dieser n-Eck-Seite ist genau n Kanten weniger, also a.

Wenn dieser Abstand nun von dem (n+1)´ten Umschlag abgezogen wird, erhält man den Windungsabstand.


 

Da weit außen die Ausdehnung des n-Ecks gegenüber dem Kurvenradius vernachlässigt werden kann, sind für großen Windungszahlen die n-Eck-Spiralen gute Annäherungen für die Archimedische Spirale.

Beispiele für Spiralen findet man zu genüge in der Natur und Technik.

Zum einen gibt es Spiralen auch als Bewegungsbahnen in der Tierwelt, Spinnen bauen so ihr Nest. Auch im Wasser oder in der Luft treten spiralförmige Bewegungen auf, z.B. beim Wasserstrudel oder beim Wirbelsturm.

In der Technik werden Spiralen in CD´s bzw. Schallplatten benutzt, wobei diese sogar Archimedische Spiralen sind.

Besonders im antiken Griechenland lassen sich viele Spiralen in der Kunst und Architektur finden, z.B. beim Kopf der ionischen Säule.

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