Wie zeichnet man Spiralen, wenn diese vollkommen regelmäßig sein sollen?

Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck und schlage um einen der Eckpunkte mit dem Zirkel einen Kreisbogen, der vom im Uhrzeigersinn benachbarten Eckpunkt ausgeht und auf der Verlängerung der nächsten Dreiecksseite endet. Zyklisch wechselnd setze man die Figur nun durch 120° Bögen fort. Jeder dieser Kreisbögen beginnt im Endpunkt des vorangegangenen und endet im Schnittpunkt mit der Verlängerung der nächsten Dreiecksseite. Während der Radius bei jedem Schritt um eine Seitenlänge wächst, setze man das Verfahren fort, bis die entstehende Spirale die gewünschte Größe hat. (Bild 1)

Das Verfahren kann auf Quadrate und beliebige regelmäßige Vielecke übertragen werden. Es führt zu um so glatteren Kurven, je größer die Zahl der Ecken ist, und wurde für das "2 Eck" (eine Strecke) bereits Anfang des 16. Jahrhunderts von Albrecht Dürer beschrieben. (Bild 2) Allerdings hat Dürer wohl aus dem Gefühl heraus, der Mittelpunkt der Spirale liege zwischen den beiden Einstechpunkten, in der Mitte zusätzlich einen kleinen "Korrekturbogen" eingefügt.

Statt einem Zirkel reihum in die Eckpunkte des Vielecks einzustechen und den Radius dabei jeweils um eine Vieleck-Seitenlänge zu vergrößern, kann man einen mehrfach um das Vieleck geschlungenen Fade abwickeln, in dessen Endpunkt ein Zeichengerät befestigt ist. Die entstehenden Spiralen sind einmal stetig differenzierbar, das heißt sie sind zusammenhängend und besitzen in jedem Punkt eine Tangente. Nur die Krümmung der Kurven ändert sich in den übergangspunkten sprunghaft, was allerdings um so weniger ins gewicht fällt, je größer die Zahl der verschiedenen Einstechpunkte ist und je dichter diese aneinander liegen. Aus der Geometrie regelmäßiger n-Ecke mit Umkreisradius 1 findet man allgemein folgende Größen:

Bei den zugehörigen Spiralen haben nach Konstruktion alle Schnittpunkte mit der Verlängerung einer n-Eck-Seite voneinander den gleichen Abstand U_n. Da weit außen die Ausdehnung des n-Ecks gegenüber dem Kurvenradius vernachlässigt werden kann, sind für große Windungszahlen die n-Eck-Spiralen gute Näherungen für die archimedische Spirale mit der Gleichung  Die n-Eck-Spiralen haben den großen Vorteil, dass all ihre Eigenschaften aus der Konstruktion abgelesen oder elementar berechnet werden können:

Der Krümmungsradius wächst (sprunghaft linear) mit dem Drehwinkel. Der Winkel zwischen Tangente und Radius ist im Anfangspunkt am kleinsten und strebt für große Radien gegen PI/2. Die von der ersten Windung einer n-Eck-Spirale eingeschlossene Fläche A_n ist