3. Kreisevolvente


Für wachsende n werden die n-Ecke einem Kreis und die zugehörigen Spiralen einer vollkommen "glatten" (unendlich oft stetig differenzierbaren) Kurve immer ähnlicher, der Wickelkurve des Kreises. Denn statt Einstechpunkt und Radius des Zirkels immer öfter immer weniger zu verändern, kann man einfach einen Faden am Kreis abwickeln. Dann ändern sich Zentrum und Radius der Drehung stetig und es entsteht die so genannte Kreisevolvente. Die Kreisevolvente zählt dem Augenschein und der anfangs gewählten Definition nach zu den Spiralen. (Alle Evolventen von geschlossenen konvexen Kurven sind Spiralen.) Ist R der Radius des zu erzeugenden Kreises, so lassen sich geometrisch die folgenden Zusammenhänge ablesen:

Die Polarkoordinatendarstellung der Kreisevolvente ist wesentlich komplizierter als die der archimedischen Spirale. Bei ihr sind jedoch Krümmungsradius und Tangentenrichtung direkt aus der Konstruktion ablesbar. Der Krümmungsradius im Punkt (r,phi) entspricht der Länge R des bereits abgewickelten Fadenstücks. Die Tangente steht nach Konstruktion stets senkrecht zur Tangente des Erzeugerkreises und somit unter dem Winkel zum Radius.
Fläche Aev und Bogenlänge sev einer Kreisevolvente sind nicht direkt aus der Konstruktion ablesbar.

Sie können aber aufgrund der oben beschriebenen Näherung durch n-Eck-Spiralen bestimmt werden. Die Grenzwerte findet man entweder mit der Regel von L´Hospital oder durch das Einsetzen einiger großer Werte. Am Ende der ersten Windung ist

Durch die vom Standard abweichende, für diesen Fall aber effektive Näherung können auf elementarem Weg Fläche und Bogenlänge einer Kurve bestimmt werden, deren analytische Beschreibung recht kompliziert ist.

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