Die Unlösbarkeit des Problem der Kreisquadratur liegt an der Transzendenz von pi, wie in der Algebra bewiesen wird.

Für die Konstruktion hat sich Archimedes eines Hilfsmittels bedient (Spirale des Archimedes):

In einem Koordinatensystem rotiere ein Radiusvektor r um den Ursprung. Auf der Geraden durch den Vektor r soll sich ein Punkt P befinden, der die Bahnkurve
a = r*t durchläuft.

Überquert der Radiusvektor die y-Achse, so hat der Punkt P gerade den Abstand a = r * pi/2 vom Ursprung.

Trägt man nun auf der x- Achse x = 2* r auf, so kann man ein Rechteck mit der Fläche

A = x * y = x * a = 2*r*r*pi/2 =r*r*pi zeichnen.

Das ist gerade die Fläche des Kreises. Dieses Rechteck braucht man nur noch in ein flächengleiches Quadrat umwandeln, was mit Hilfe des Höhensatzes und der Satzgruppe des Pythagoras einfach ist.

Im folgenden Bild wird der Sachverhalt mit r=1 verdeutlicht: