Allgemein:
In der antiken Geometrie erwarben drei geometrische Probleme dadurch besondere Berühmtheit, dass sie von zahlreichen Mathematikern vergeblich untersucht und schließlich als unlösbar angesehen wurden. Die Quadratur des Kreises, die Verdopplung des Würfels und die Dreiteilung des Winkel sind als klassische Probleme in die Geschichte der Mathematik eingegangen. Wie heute bewiesen ist, sind sie mit den anerkannten Mitteln der Antike, das heißt mit Zirkel und Lineal allein, tatsächlich nicht exakt lösbar. Die Dreiteilung eins beliebigen Winkels entspricht der Lösung der kubischen Gleichung x³-3x-c=0, welche im Allgemeinen nicht auf die Konstruktion von rationalen Zahlen und Quadratwurzeln reduziert werden kann. Aus diesem Grund reichen Zirkel und Lineal zur Bestimmung der Lösung in der Regel nicht aus. Es stellt sich die Frage nach einem möglichst unkomplizierten Hilfsmittel, dessen Hinzunahme die Lösung des Problems ermöglicht.

Winkeldreiteilung:
Was mit Zirkel und Lineal allein möglich ist, ist die Dreiteilung einer vor gegebenen Strecke aufgrund des Strahlensatzes. Gelänge es, die Winkelteilung auf eine Streckenteilung zurückzuführen, so wäre das Problem gelöst. Die einfachste denkbare Verknüpfung zwischen Winkeln und Strecken ist eine direkte Proportionalität. Mit Hilfe einer geometrischen Figur, bei der bestimmte Strecken bestimmten Winkeln proportional sind, kann jede Winkelteiung in eine Streckenteilung überführt, die Streckenteilung mit Zirkel und Lineal vorgenommen und das Ergebnis schließlich auf die Winkelteilung "zurückgeführt" werden.
Da es um Strecken und Winkel geht, drängt sich die Wahl von Polarkoordinaten auf. In kartesischen Koordinaten sind bei unkomplizierter Zuordnung die Achsenabschnitte in der Regel trigonometrische Funktionen der Winkel, nicht aber den Winkeln selbst proportional. Wir nutzen deshalb als Hilfsmittel eine Kurve, für die in Polarkoordinaten die Beziehung  r~phi gilt. Das ist eine archimedische Spirale! Unter Zuhilfenahme einer beliebigen archimedischen Spirale ist die Dreiteilung eines Winkels nach dem folgenden "Rezept" möglich:

• Lege den Pol der Spirale auf den Scheitel Z des Winkels
• Erhalte die Schnittpunkte A und D der Spirale mit den Schenkeln des Winkels
• Trage mit dem Zirkel a=ZA auf d=ZD ab und erhalte die Differenz x=d-a
• Teile x mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile
• Schlage um Z Kreise mit den Radien b=a+1/3x und c=a+2/3x und erhalte deren Schnittpunkte B und C mit der Spirale
• Zeichne die Verbindungsgeraden von B und C mit Z. Sie teilen den vorgegebenen Winkel in drei gleiche Teile

Mit Hilfe einer archimedischen Spirale kann das klassische Problem der Dreiteilung eines beliebigen Winkels gelöst werden.

Konstruktion durch Polarkoordinaten:
Mit Zirkel und Lineal können beliebig viele Punkte einer archimedischen Spirale exakt konstruiert werden. Im obigen Rezept existiert ein Schritt, der mit Zirkel und Lineal allein nicht ausführbar ist. Denn durch den zu teilenden Winkel sind der Pol und zwei weitere Punkte der Spirale vorgegebenen, deren Abstände vom Pol beliebig (aber verschieden) gewählt werden können. Mit Zirkel und Lineal können beliebig viele Zwischenpunkte der Spirale konstruiert werden, allerdings immer nur durch fortgesetzte Winkelhalbierung. Da aber wegen der Eindeutigkeit der Primfaktoren k*3 /= 2ⁿ und folglich k/2ⁿ /= 1/3 für alle k,n in IN gilt, erhält man so niemals exakt die benötigten Punkte der Spirale. Im Sinne praktischer Näherungslösungen ist die Methode jedoch  ausgesprochen nützlich. Hätte man ein mechanisches Gerät zur stetigen Konstruktion der archimedischen Spirale und benutzte dieses zusätzlich zu Zirkel und Lineal, so könnte man jeden Winkel in jede beliebige Zahl gleich großer Teile zerlegen.