Bereits Archimedes beschrieb dieses Prinzip der Punktweisen exakten Konstruktion. Er erwähnt seine Gedanken in seinem Buch "über Spiralen" Abschnitt 12. Der lautet: Wenn vom Mittelpunkt der Spirale nach der Spiralenlinie beliebiger Umdrehung Halbstrahlen gezogen werden, die gleiche Winkel bilden, so werden diese Halbstrahlen eine arithmetische Reihe bilden. Es werde eine Spirale betrachtet, bei der die Halbstrahler AB, AC, AD,  AE, AF gleiche Winkel miteinander bilden. Es ist zu zeigen, dass AB, AC, AD, AE, AF eine arithmetische Reihe bilden. In derselben Zeit nämlich, in der der rotierende Halbstrahl aus der Lage AB nach AC gelangt, legt der sich auf dem Halbstrahl bewgende Punkt den Weg AC-AB zurück. In derselben Zeit ferner, in der der Halbstrahl aus der Lage AC in die Lage AD gelangt, legt der Punkt den Weg AD-AC zurück. In gleicher Zeit aber gelangt der Halbstrahl aus der Lage AC,

wie aus der Lage AC in die Lage AD, da ja 'BAC='CAD. In gleicher Zeit also legt der Punkt den Weg AC-AB zurück, wie den Weg AD-AC, es muss also AD-AC=AC-AB sein und das entsprechende muss für die folgenden Differenzen gelten.
 

Die bei konstanter Winkeldifferenz aufeinander folgenden Radien einer archimedischen Spirale bilden eine arithmetische Folge.

Kennt man den Pol und zwei Punkte einer archimedischen Spirale, so kann man einen weiteren Punkt dazwischen bestimmen. Dieser Punkt liegt auf der Halbierenden des eingeschlossenen Winkels und seine Entfernung vom Pol ist das arithmetische Mittel der beiden bekannten Radien. Hieraus lässt sich anschaulich zeigen, dass eine archimedische Spirale einheitlich konvex gekrümmt ist:

Seien Z der Pol, A und C zwei Punkte einer archimedischen Spirale, von denen C weiter vom Pol entfernt ist. Dann liegt der Zwischenpunkt B der Spirale auf der Winkelhalbierenden stets außerhalb des Dreiecks ZAC; denn ergänzt man das Dreieck durch den Punkt Z' zu einem Parallelogramm und betrachtet die Diagonale ZZ', so ist L(AZD)>L(AZW) und L(ZDA)> L(ZWA)

Sind der Pol und zwei weitere Punkte einer archimedischen Spirale gegeben, so liegt auf der Winkelhalbierenden im mittleren Abstand vom Pol ebenfalls ein Punkt dieser Spirale. Wie findet am diesen Punkt?
Mit Zirkel und Lineal kann die Winkelhalbierende konstruiert (b), das arithmetische Mittel der beiden Radien konstruiert (d) und dieses Mittel auf der Winkelhalbierenden abgetragen werden. Durch Wiederhohlen des Verfahrens ist die Bestimmung beliebig vieler, beliebig dicht liegender Punkte der Spirale möglich:
 
 

Die archimedische Spirale ist einheitlich konvex gekrümmt und kann punktweise mit Zirkel und Lineal Konstruiert werden.