Funktionentheorie und Spezielle Funktionen

Teilnehmer:
Studierende im 5. und 7. Semester Angewandte Mathematik, offen für Angehörige der TU Bergakademie Freiberg.

Vorlesung:
Donnerstag 09:07 bis 10:37, MIB 11047 oder MIB 1113

Übung:
Dr. Semmler, Freitag gerade Woche 11:00 bis 12:30, MIB 1108

Ziele:
Die Studierenden lernen Methoden und Resultate aus Theorie und Anwendungen reeller und komplexer Funktionen kennen.
Sie entwickeln Fertigkeiten im Umgang mit speziellen Funktionen und können deren Eigenschaften aus Phasenporträts ablesen.

Inhalte:
Synthetischer Aufbau der Theorie komplexer (analytischer) Funktionen.
Darstellungen durch Reihen, Produkte, Integrale
Gammafunktion, Elliptische Funktionen, Riemannsche Zeta-Funktion.
Visualisierung komplexer Funktionen und Interpretation von Phasenporträts.



Literaturliste (PDF)

Matlab Software für Phasenportraits und Analytische Landschaften



1. Komplexe Zahlen und Funktionen

Visualisierung komplexer Funktionen

Einige Phasenporträts

Komplexe Funktionen und Bilder

Phasenporträts und ihre Modifikationen


2. Synthetischer Aufbau

2.1 Einfachste Funktionen

Elementare Bausteine

Möbiustransformationen

2.2 Polynome und rationale Funktionen

Potenzfunktionen, Polynome, rationale Funktionen

2.3 Potenzreihen

Konvergenz der geometrischen Reihe

Konvergenz weiterer Potenzreihen

Ein Satz von Jentzsch

Die Exponentialfunktion

Ein Satz von Szegö

Eigenschaften der Exponentialfunktion

Trigonometrische Funktionen

2.4 Analytische Funktionen

Lokale Normalformen von Phasenporträts

Änderung des Zentrums einer Potenzreihe

2.5 Analytische Fortsetzung

Das Kreiskettenverfahren

Analytische Fortsetzung

Die Quadratwurzelfunktion

Die Logarithmusfunktion

Die allgemeine Potenzfunktion

Die Funktion z hoch z

2.6 Riemannsche Flächen

Die Riemannsche Fläche der Wurzel

Die Riemannsche Fläche des Logarithmus

Die Umkehrung der Sinusfunktion

Die Umkehrung der Joukowski-Funktion


3. Komplexe Differentiation und Integration

3.1 Differenzierbare Funktionen

Differenzenquotienten

Lokale Ähnlichkeitstransformationen

Eine Funktion und ihre Ableitung

Die Cauchy-Riemann Gleichungen

Isochromatische Linien und Wachstum

Höhere Ableitungen und Sattelpunkte

3.2 Stammfunktionen

Fresnel-Integrale

3.3 Stammfunktionen längs eines Weges

Analytische Fortsetzung lokaler Stammfunktionen

Stammfunktionen von f(z)=1/z

3.4 Integralsätze und Integralformeln

Cauchysche Integralformel

Cauchy-Integrale

3.5 Laurentreihen

Laurentreihen und Laurent-Zerlegung

Laurent- und Fourier-Reihen

Jacobische Theta-Funktionen

3.6 Isolierte Singularitäten

Wesentliche Singularitäten

3.7 Residuensatz

Integralberechnung

Das Argument-Prinzip