Bilder zur Vorlesung Funktionentheorie/Spezielle Funktionen

1. Zur Einstimmung: Eine einzelne Nullstelle erhalten wir durch die Funktion f(z)=z
   
2. Polynome besitzen endlich viele Nullstellen, mehrfache Nullstellen kann man deutlich am Farbverlauf erkennen. Als Beispiel betrachten wir f(z)=(z-i)²(z+1)
   
3. Bei Polstellen kehrt sich der Farbverlauf um. Wieder als elementares Beispiel die einzelne Polstelle in f(z)=1/z
   
4. Eine rationale Funktion besitzt Polstellen und Nullstellen. Dargestellt ist f(z)=(z-2)(z-i)/z. Man erkennt am Bild, wieso die Zählformel für Null- und Polstellen gilt.
   
   Pole höherer Ordnung kompensieren mehr Nullstellen. Als Beispiel sei f(z)=(z-2)(z-i)/z² angegeben.
   
5. Als erste nichttriviale Funktion haben wir die Exponentialfunktion behandelt, diese sieht dargestellt allerdings eher trivial aus. Diesmal also f(z)=exp(z)
   
6. Bildet man f(z)=exp(1/z), so erhält man eine Funktion mit einer wesentlichen Singularität
   
7. Mit der Exponentialfunktion werden die Winkelfunktionen definiert. Als Beispiele die Sinusfunktion f(z)=sin(z)
   
   und die Tangensfunktion f(z)=tan(z)
   
8. Als Funktionen mit Verzweigungspunkten haben wir die Wurzelfunktion kennengelernt. Hier sieht man, daß Mathematica bei der Implementierung die komplexe Zahlenebene entlang der negativen reellen Achse aufgeschnitten hat.
   
   Ähnlich ergibt sich für die Logarithmusfunktion f(z)=log z
   
   Der Ausweg ist die Definition der Riemannschen Fläche einer Funktion. Für Funktionen, bei denen nur das Argument, aber nicht der Betrag "springt", liefert die Darstellung von arg(f(z)) einen Eindruck, wie die Fläche aussehen könnte. Im folgenden Bild ist arg(sqrt(z)) wie üblich eingefärbt dargestellt, und zwar für zwei Umläufe um den Ursprung. Nach dem zweiten Umlauf stimmen Betrag und Argument wieder mit dem Ausgangswert überein.
   
9. Die folgenden Bilder stellen die Gammafunktion Γ(z)
   
   und die Digammafunktion Ψ(z)=(log Γ(z))'
   
   dar.
10. Die Zetafunktion ζ(z) besitzt in z=1 eine Polstelle, wie man sehr deutlich sieht. Ebenso sieht man die Nullstellen in den ersten negativen geraden Zahlen.
    
    Wählt man den Ausschnitt größer, sieht man daß es auch auf Streifen 0 < Re z < 1 weitere Nullstellen gibt.