Vorlesung Signaltheorie

Hörergruppe: 6./8. Mm, 6. BNC, 6./8. EC
Stundenumfang: 2/1

Termin: Die Vorlesung findet Mittwochs, 16:00-17:30 Uhr, im Raum PRÜ 1104, die zugehörige Übung in der ungeraden Woche Dienstags, 18:00-19:30 Uhr, im Raum MIB 1108 statt. Es wird eine Trennung zwischen Vorlesung und Übung stattfinden (zumindest plane ich das derzeit so).

Zum Inhalt

Gegenstand der Vorlesung ist eine Einführung in Probleme der Signaltheorie. Dazu werden in einem ersten Abschnitt Eigenschaften der Fouriertransformation und ihr Zusammenhang zu Fourierreihen in den Mittelpunkt gestellt. Beantwortet werden soll dabei die Frage nach der Invertierbarkeit der Fouriertransformation in verschiedenen Räumen.

Der weitere Verlauf der Vorlesung beschäftigt sich mit Fragen der Zeit-Frequenz-Lokalisation und deren Grenzen. Behandelt wird die Unschärferelation für Signale mit ihren Konsequenzen. Danach schließt sich eine Einführung der gefensterten Fouriertransformation an.

Der nächste Abschnitt beschäftigt sich mit der Frage der Rekonstruierbarkeit von Signalen aus diskreten Informationen. Dazu werden Frames als Verallgemeinerung von Schauderbasen/Orthogonalbasen in normierten Räumen eingeführt und die Theorie der Gabor-Frames entwickelt.

Sollte die Zeit dafür reichen, so kann in einem letzten Abschnitt der Vorlesung ein Ausblick auf Modulation Spaces gegeben werden.

Literatur(-empfehlungen)

  1. Karlheinz Gröchenig: Foundations of Time-Frequency Analysis
    Birkhäuser Verlag, Boston 2001
  2. Brian Davies: Integral transforms and their applications
    Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York 2000
  3. Robert S. Strichartz: A guide to distribution theory and Fourier transforms
    World Scientific, 2003
  4. Elias M. Stein, Guido Weiss: Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces
    Princeton University Press, 1971
  5. Rolf Brigola: Fourieranalysis, Distributionen und Anwendungen
    Vieweg-Verlag, 1997

Inhaltliche Grobgliederung

  1. Theorie der Fouriertransformation
    1. Definition, elementare Eigenschaften
    2. Schwarzraum, Inversionsformel, der Satz von Plancherel
    3. temperierte Distributionen
    4. Fourierreihen, Poissonsche Summationsformel
  2. Phasenraumanalysis
    1. Die Heisenbergsche Unschärferelation
    2. Zeit-Frequenz-Lokalisation
    3. Zeit-Frequenz-Darstellungen
      1. Die gefensterte Fouriertransformation
      2. Die Wigner-Verteilung
  3. Gabor-Analysis
    1. Riesz-Basen und Frames in Hilberträumen
    2. Gabor-Systeme und die Segal-Algebra S0(R)
    3. Der Gabor-Frameoperator
    4. Duale Gabor-Systeme
Mittlerweile ist auch ein komplettes Skript zur Vorlesung verfügbar.

Prüfungsschwerpunkte etc.

Mm, BNC: Für die (erfolgreiche) Teilnahme an der Lehrveranstaltung (V/Ü) wird ein Übungsschein ausgestellt. Prüfungsschwerpunkte für mündliche Prüfungen sind nicht festgelegt. Es wird ein Verständnis der wesentlichen Zusammenhänge und der den Hauptaussagen zugrundeliegenden Beweisideen erwartet.

EC: Auf Wunsch kann für die (erfolgreiche) Teilnahme an der Lehrveranstaltung (V/Ü) ein Übungsschein ausgestellt werden. Zum Erhalt eines Testates ist der (schriftliche/mündliche) Nachweis von Grundkenntnissen des Lehrgebietes (§11, Studienordnung) nötig, Details dazu auf Anfrage und nach Absprache.
Für eine mündliche Prüfung gelten folgende Prüfungsschwerpunkte: Kapitel 1 (Eigenschaften der Fouriertransformation auf L1, L2 und S', dazu Poissonsche Summationsformel und Shannon-Nyquist Sampling Theorem), Abschnitte 2.1 (Unschärferelation) und 2.3.1 (gefensterte Fouriertransformation) sowie Abschnitt 3.1 und Hauptresultate aus Abschnitten 3.2 bis 3.4 (Struktur von Gabor-Systemen und Existenz von Gabor-Frames, Sätze 3.2.5, 3.3.2, 3.3.4, 3.4.2 und 3.4.3).
Die Beweise der Aussagen sind nicht Prüfungsgegenstand.