Hörergruppe: 7. Gy
Stundenumfang: 3/0, dabei in der Vorlesung integrierte Übungsanteile
Gegenstand der Vorlesung ist eine Einführung in die Theorie der holomorphen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Ausgehend von einer Wiederholung der wesentlichen Eigenschaften komplexer Zahlen werden in einem ersten Abschnitt Darstellungen von Polynomen und gebrochen rationalen Funktionen im Komplexen behandelt.
Nach diesen einführenden Betrachtungen werden allgemeine komplex differenzierbare Funktionen im Mittelpunkt stehen. Hauptresultate dabei sind der Zusammenhang von komplexer Differenzierbarkeit, Analytizität, und der Gültigkeit des Cauchyschen Integralsatzes, sowie die Cauchysche Integralformel. Diskutiert werden ebenso die analytische Fortsetzung von Funktionen, die dabei auftretenden Mehrdeutigkeiten und die Idee der Riemannschen Flächen.
In einem folgenden Abschnitt werden spezielle eindeutige Funktionen und ihre Darstellungen behandelt. Neben allgemeinen Aussagen zu ganzen und meromorphen Funktionen werden insbesondere die Gamma-Funktion und die Riemannsche Zeta-Funktion betrachtet.
Abschluß der Vorlesung bilden Funktionen der mathematischen Physik. Im Zentrum stehen dabei Besselfunktionen und allgemeiner hypergeometrische Reihen. Sollte die Zeit reichen, werden im Anschluß daran noch Kugelfunktionen betrachtet und ein Ausblick auf Systeme von Orthogonalpolynomen gegeben.
Die zu erbringende prüfungsrelevante Studienleistung für das Fach Spezielle Funktionen wird als Prüfungsgespräch im Umfang von 30 Minuten nach Abschluß der Vorlesung stattfinden. Termine dann nach Vereinbarung. Inhaltlicher Schwerpunkt der Prüfungsgespräche werden der Inhalt des Kapitels 2 und die Anwendung funktionentheoretischer Methoden auf die Untersuchung spezieller Funktionen sein, wie sie in den Abschnitten 3.3 sowie 4.1 bis 4.3 diskutiert worden sind.